어느 히키코모리의 블로그

Everything(모든 것)

Phoenix(불사조)

 불사조는 일정한 시간이 지나면 스스로를 불태우고 재가 되고, 다시 언젠가 타올라 다시 새가 되어 하늘을 날아다닙니다. 그렇게 영원히 살아갑니다. 어쩌면 더 나은 자신이 되기 위해서 스스로를 불태우고 재가 되는지도 모르겠습니다.

 비록 대학와서 수학 공부하긴 했지만 난 문송이고, 고등학교 다닐 때 과학에 시간 꽤 많이 쏟았는데 1학년 때 3,4등급을 벗어날 수 없어서 문과를 와야 했다. 공부 자체를 늦게 시작했기 때문에 지능이 낮아서 이해 못하는 건 당연한 일이었다. 지금은 F=ma를 이렇게 이해한다.

 사람들이 F=ma로 힘은 질량 곱하기 가속도로 식을 기억하고 있는데, 뉴턴의 운동의 제2법칙은 가속도의 법칙이다. 즉, a= F/m이 원래 식이다. 이 식은 어떻게 나왔을까? 물론 내 생각이 틀릴 수도 있지만 그냥 이렇게 생각할 수 있었다.

 내가 헬창이라서 자동차를 밀 수 있다고 하자. 내가 이 자동차를 밀면 이 자동차는 얼마나 빨라질까? 그리고 자동차가 빨라지는 과정에 어떤 요소들이 영향을 미칠까? 물론 바람이 얼마나 부느냐, 땅이 얼마나 매끄럽냐(즉 빙판이냐 아니냐) 등 여러 상황이 영향을 줄 수 있지만, 아주 단순히, 아주 이상적인 상황에서 '내가 차를 밀면 차가 빨라진다'는 상황에서 고려해야만 할 가장 최소한의 조건들만 본다고 할 때 결코 빠져서는 안 되는 것들이 뭘까?

 우선 내가 차를 밀어서 차가 움직이고 빨라진다면, 어떨 때는 급발진할 때처럼 순식간에 엄청나게 빨라질수도 있고, 어떨 때는 아닐 수도 있다. 가장 쉽게 생각하기 편한 요소는 힘일 것이다. 내가 모든 에너지를 써서 세게 밀면 차가 휘잉 하면서 나갈 것이고, 작게 힘을 쓰면 빨리 안나갈 것이다. 그리고 이상적인 상황에서는 '내가 힘을 주는 만큼 차가 나가는 속도가 빨라질 것'이다. 즉, 차가 빨라지는 속도(가속도)는 이상적으로 힘에 비례한다고 볼 수 있을 것이다.

 힘은 이 상황에서 차를 미는 나에게 해당되는 요소이고, 밀어지는 차에게서 찾아낼 수 있는 요소는 무게일 것이다. 차가 매우 무거우면 당연히 힘을 주어도 잘 안나갈 것이고, 가벼우면 작은 힘으로도 빠르게 나갈 것이다. 이 역시 이상적인 상황에서는 '무거운 만큼, 차가 빠르게 치고 나갈 수 없다'고 볼 수 있고 가속도는 무게에 반비례한다고 볼 수 있을 것이다(다시 말해 가속도는 1/무게에 비례한다)

 힘과 무게 외에 더 많은 요소들도 있을 수 있지만 가장 기초적이고 없어서는 안 될 요소는 딱 이 두 개인 것 같다. 따라서 우리는 '(물체의) 가속도는 가해지는 힘에 비례한다'와 '(물체의) 가속도는 (물체의) 무게에 반비례한다', 그리고 '이 외의 요소들은 개입하지 않는다'로부터 식을 세워야 한다.

 비례라는 건 뭘까? y가 x에 비례한다는 건, x,y 이외의 다른 요소들을 고정시켰을 때 x가 2배 커질 때 y도 그렇다는 것이고 일반화하면 x가 b배 커질 때 y도 b배 커진다는 것이다. 이를 분수로 두면 결국 2배나 b배 한 것이 분모 분자에 모두 있어 상쇄되므로 y/x = 2y/2x = by/bx 라는 것이다. 값이 일정하므로 a라고 한다면, y/x =a이고 y = ax이다. 이때 a는 상수일 수도 있고, 일반적으로는 x와 y 값에 영향을 받지 않는 식이나 값이다. 중등 수학에서는 x,y 외의 다른 변수를 고려하지 않기 때문에 a는 상수가 될 것이다.

 여튼, 이를 본받아 식을 세우면 $a=\alpha F$와 $a=\beta (1/m)$이다. 두 식을 곱하면 $a^2 =\alpha \beta \frac{F}{m}$인데, 가속도가 0인 경우를 제외하면 $a=\frac{\alpha \beta}{a}\frac{F}{m}$이고 $\frac{\alpha \beta}{a}$를 $\gamma$라고 하자. 그러면 $a=\gamma \frac{F}{m}$이다. 이 경우 두 가지를 생각할 수 있다. $\gamma$가 힘과 질량에 독립적인 요소라고 한다면, 힘과 질량을 고정시켰을 때 $\gamma$가 커지는 만큼 $a$도 커질 것이고 둘은 비례관계가 된다. 그러나 우리는 힘과 질량 외에 가속도가 다른 것에 영향을 받지 않는다고 했으므로 $\gamma$는 새로운 독립변수일 수 없다. 따라서 $\gamma$는 상수여야 하는데, 만약 1이 아닌 상수라고 하자. 가령 2라고 한다면, $a=(2F)\frac{1}{m}=(2\frac{1}{m})F$로 쓸 수 있고, 이는 $a$가 $2F$에 비례하고, $2/m$에 비례한다고 쓸 수 있다는 것이다. 즉, 우리가 처음에 세웠던 비례식들과 일치하지 않는다. 가속도는 2힘이 아니라 힘에, (2/질량)이 아니라 (1/질량)에 비례해야 한다. 따라서 $\gamma$가 $1$이 아닌 경우 우리는 처음에 가정했던 상황과 일치하지 않음을 알 수 있다. 따라서 $\gamma =1$이 될 수밖에 없고 $a=\frac{F}{m}$이다. 이를 우리가 익숙한 식으로 변환하면 $F=ma$가 되는 것이다.

 라고 생각했습니다. 당연한 것일 수도 있고, 이상한 것일 수도 있습니다;; 중1 때 덧셈 곱셈을 과외로 배웠기 때문에 초중고 지나면서 과학은 아무것도 이해하지 못하고 지나갔습니다

짧은 연주입니다

Everglow(영원히 빛나기를)

콜드플레이의 동명의 곡에서 모티브를 가져온 것 같습니다.

https://www.youtube.com/watch?v=XkB35_TkUag

 여기에 번역이 잘 되어있네요

Witness(목격)

The moment I reacted
심하게 말했던 때
When I dared to run away
네게서 달아났던 때
And I’m caught in a sensation
그리고 네가 눈을 감던 그 순간에
A witness to your closing eyes
아직도 난 사로잡혀 있어

Why

도대체 왜
Always the innocent

무고한 사람들은
The first to fall

가장 빨리 떨어지는걸까
Unable to comprehend

이해할 수가 없어
Couldn’t protect

지켜줄 수 없었어
Take your place
부디 너희는 자리를 묵묵히 지키거나

Or rewind the time
그럴 수 없다면 좋았던 때로 시간을 되돌리기를.
The hardest part remains
남겨진 자들은
For those left behind
힘든 시간을 보내야 하니까..

When it’s over

모두 끝났을 때
A fading light in you
희미해져가던 너의 눈동자

Don’t wake me up
이게 꿈이라면
Til I’m sober
날 깨워줘

I know we’re incomplete

완벽한 관계가 아니었단 걸 알지만,
We’re not okay
이건 아니야..

I feel disconnected

무언가 떨어져나간 것 같은 느낌을 받았어
The smile on your face
웃음기 넘치던 너
I swore I’d protect it

난 그걸 지켜주겠다고 맹세했어
A lie

거짓말이 되고 말았어

I can’t

내
Take the weight of my back

십자가는 들 수 없을 정도로 무거워
The words that I said

내가 했던 말들이
The noose around my neck

내 목을 옭아매는 올가미가 되었어

Take my light

차라리 날 데려가
Too high the price you paid

넌 너무 큰 대가를 치뤘어
Tell me how can I

말해줘
Save a life

난 어떻게 살아야 해?
If I’m afraid

이 모든게 두려워
Cause I’m afraid

난 너무 두려워

So please let me know

이게 꿈이라면 
When it’s over

날 깨워줘
A fading light in you

네 안에 있던 빛은 희미해져갔어

Don‘t wake me up

이게 꿈이라면
Til I’m sober

제발 날 깨워줘

I know we’re incomplete

We’re not okay
이건 아니야..

No escape from what I’ve done

내가 저질렀던 일들로부터 도망갈 수 없어

The moment I reacted
심하게 말했던 때
When I dared to run away
네게서 달아났던 때
And I’m caught in a sensation
그리고 네가 눈을 감던 그 순간에
A witness to your closing eyes
아직도 난 사로잡혀 있어

And no one tells you

누구도 말해주지 않아
How to bear the

어떻게
Weight of your excuse

변명의 무게를 져야하는지
Cause we know it’s no use

왜냐면 아무 소용이 없으니까.

Take my light

차라리 날 데려가
Too high the price you paid

넌 너무 큰 대가를 치뤘어
Tell me how can I

말해줘
Save a life

난 어떻게 살아야 해?
If I’m afraid

모든 게 두려워
Cause I’m afraid

난 너무 두려워

So please let me know

이게 꿈이라면 
When it’s over

날 깨워줘
A fading light in you

네 안에 있던 빛은 희미해져갔어

Don‘t wake me up

이게 꿈이라면
Til I’m sober

제발 날 깨워줘

I know we’re incomplete

완벽한 관계가 아니었단 걸 알지만,

We’re not okay
이건 아니야..

불완전성 정리에 대해 사람들이 너무 부적절하게 생각하는 경향이 있는데 정확히 어떤 의미인지에 대해서 살펴보도록 합시다.

 이 부분은 사람마다 초점이 달라서 정의가 조금씩 다릅니다.

 철학 분과에서는 주로 어떤 문장들의 집합 $T$가 이론이라는 말을 $T=Cn(T)$일 때로 주로 정의합니다. $Cn(T)=\{\alpha | T\vdash\alpha\}$이고 $Cn(T)$는 $T$에서 증명가능한 것들, 혹은 완전성 정리에 의해 $T$에서 참인 것들의 집합입니다(Consequence of $T$). 아래에선 $\models$와 $\vdash$를 구분하지 않습니다.

 이 관점에서 이론 $T$는 논리적 함축관계 혹은 증명가능성관계에 있어서 닫혀있다는 말입니다. 이 사람들이 이렇게 정의할 때는, (특정) 수학이론이란 진리관계에 대해서 닫혀있는 것이라고 생각하는 것입니다. 가령 정수론(자연수 관한 수학이론)에서 무언가 결과를 얻어내면 그 결과는 정수론에 그대로 귀속된다는 것입니다. 그래서 정수론은 정수론에서 참인 문장(=증명가능한 문장)들을 포함해야 한다는 것이죠. 이 조건이 $Cn(T)\subseteq T$입니다. 그런데 $T\subseteq Cn(T)$는 너무나 당연한 것이기 때문에 그냥 퉁쳐서 $T=Cn(T)$로 정의하는 겁니다. 증명은 나중에 하도록 하겠습니다.

 제가 여기서 이론을 단순히 문장들의 집합으로 둔 것은 다른 이유가 있습니다. 많은 경우 모형론을 전개하다보면 어떤 이론의 근간이 되는 공리들을 중심으로 하여 이론을 파악하기 때문에, 함축관계에 대해서 닫혀있는지 여부가 아니라 결국 특정한 공리들 자체를 유심히 보는 경우가 많기 때문입니다. 예전에 본 $PA$ 공리체계도 그렇고, 다양한 체계들에 대해서 각 공리들 자체가 중요할 때가 많습니다. 그래서 저는 이론을 그냥 문장들의 집합으로 봅니다. 또한 적지 않은 모형론 책들이 그렇게 합니다.

 이론 $T$가 완전하다는 것에 대해 저는 일관성을 유지하면서, 임의의 문장을 주면 그 문장이 증명되거나 반드시 반증되는 것으로 정의했습니다. 사람에 따라 일관성을 완전성에 포함시키지 않는 경우도 심심치 않게 발견됩니다. 그런 경우는 제가 정의한 방식을 말하려면 '일관적이고 완전한 이론'이라고 말해야 합니다. 이론의 완전함이라는 걸 어떻게 이해하느냐의 차이일 뿐입니다. 참고로 이는 논리학의 완전성 정리와는 아무 관련이 없습니다. 완전성 정리의 완전성은 주어진 논리체계의 만족가능성과 일관성 개념이 일치하는지를 묻는 개념이고, 지금 우리가 다루는 완전성은 이미 주어진 논리체계 안에서 특정 이론이 임의의 문장을 주었을 때 증명이나 반증을 항상 할 수 있느냐를 묻는 것이기 때문에 완전 다른 개념입니다. 헷갈리지 않도록 유의하시길 바랍니다. 어쨌든, 완전성이란 개념에 대해 좀 이해하기 위해서 몇 가지 정리와 예시들을 봅시다.

0. 당연한 말입니다. $\alpha$가 $T$의 원소면, $Cn(T)$는 $T$의 논리적 귀결(논리적 함축)의 집합이기 때문에, 당연히 참으로 만들어야겠죠. 엄밀히는, 임의의 $\mathcal{M}\models T$인 $\mathcal{M}$은 $T$의 원소인 $\alpha$를 참으로 만들고 $T\models\alpha$가 성립합니다.

1. $Th(\mathcal{M})$은 모형의 이론(Theory of model)이라는 말로 주어진 모형에서 참인 문장들의 집합입니다. $\mathcal{M}$에서 참인 문장들의 집합이기 때문에, $\mathcal{M}$이 당연히 그 모형이 될 것이므로, 완전성 정리에 의해 $Th(\mathcal{M})$는 일관적입니다. 또한 모형에서 어떤 문장이 주어지든, 그 문장은 모형 안에서 참이거나 참이 아닙니다. 모형에서 참이 아닌 것은 거짓으로 개념적으로 정의되기 때문에, 모형은 모든 문장을 참 혹은 거짓으로 만듭니다. 따라서 임의의 문장 $\alpha$가 주어졌을 때, $\alpha$가 $\mathcal{M}$에서 참이면 $\alpha$가 $Th(\mathcal{M})$원소가 되고, $\neg\alpha$가 $\mathcal{M}$에서 참이면 $\neg\alpha$가 $Th(\mathcal{M})$의 원소가 됩니다. 원소가 되면 당연히 증명가능하기 때문에 $Th(\mathcal{M})$는 완전한 이론입니다.

2. 이것도 당연한 말입니다. T에서 증명가능한 것들을 모두 모은 집합은, 당연히 T에서 증명가능한 것들을 모두 모은 집합에서 증명가능한 것들이 집합과 일치하겠죠. 굳이 증명을 한다면, 우선 0에 의해서 한쪽 방향은 증명이 됩니다. $Cn(T)$도 문장들의 집합인 이론이기 때문입니다. 반대로, $Cn(Cn(T))\subseteq Cn(T)$를 보이면 됩니다. $\alpha$가 앞의 것의 원소라고 합시다. 그러면 $Cn(T)\models\alpha$입니다. 이제 $T\models\alpha$를 보이면 됩니다. $\mathcal{M}\models T$인 임의의 모형을 가져옵시다. 그러면 $\mathcal{M}\models Cn(T)$입니다. $Cn(T)$의 원소는 $T$와 논리적 함축관계인 것들인데, $\mathcal{M}$은 $T$를 만족하기 때문에 그 함축관계에 있는 원소들도 당연히 참으로 만듭니다. 따라서 $\alpha$도 참으로 만들고. 우리는 조건을 만족하는 $\mathcal{M}$이 $\alpha$를 만족하는 걸 보였기 때문에 증명이 완료됩니다.

3. 당연한 말입니다. 둘다 완전한 이론인데, 완전하다는 건 어떤 문장을 놓아도 참이거나 거짓으로 만든다는 것이고, 한쪽이 다른 한쪽의 부분집합이면 임의의 문장에 대해 그런 성질이 성립하는 것이 그대로 들어가기 때문에 어떤 문장에 대해 서로 불일치가 일어날 수 없습니다.

 증명으로 봅시다. $\mathcal{N}$의 원소인 $\alpha$가 있다고 합시다. 즉, $\mathcal{N}\models\alpha$입니다.

$\alpha$가 $\mathcal{M}$에서 참이면, $\alpha\in Th(\mathcal{M})$이므로 문제가 없습니다. 또한, $\alpha$가 $\mathcal{M}$에서 거짓이면 $\mathcal{M}\models\neg\alpha$이고 따라서 $\neg\alpha\in Th(\mathcal{M})$의 원소입니다. 전제에 의해서 다시 $\neg\alpha\in Th(\mathcal{N})$이고 이는 정의에 의해 $\mathcal(N)\models\neg\alpha$인데, 한 모형은 어떤 문장과 그 문장의 부정을 동시에 참으로 만들 수 없습니다. 따라서 모순입니다. 따라서 이런 경우는 발생하지 않기 때문에 앞의 경우만 가능하게 되고 증명이 완료됩니다.

4. 이 부분이 중요합니다. 모형론에서는 중요하게 어떤 이론이 완전한지 아닌지를 따집니다. 완전한 이론이라면 한 모형만을 가지고 그 이론에서 참인 문장과 거짓인 문장을 모두 가려낼 수 있기 때문입니다. 물론 어떤 문장에 이론 안에서 참인지, 혹은 거짓인지를 모두 가려낼 수 있다고 해서 그것이 최상인 건 아닙니다. 완전한 이론을 참으로 만드는 모형들의 구조가 서로 다를 수 있습니다. 그런 문제는 너무 복잡하기 때문에 여기서 다룰 수 없습니다..

 $Cn(T)= Th(\mathcal{M})$인 경우만 다루면 됩니다. 어차피 $\mathcal{M}$은 조건을 만족하는 임의의 모형이기 때문에, 나중에 조건을 만족하는 아무 $\mathcal{N}$을 추가하면 어차피 $Cn(T) = Th(\mathcal{N})$이 될 것이므로 결국 다 같게 됩니다.

 $Cn(T)\subseteq Th(\mathcal{M})$을 봅시다. $T\models\alpha$라고 합시다. 그런데, $\mathcal{M}\models T$이기 때문에, 논리적 함축관계에 의해 $\mathcal{M}\models\alpha$가 되고, 정의에 의해 $\alpha\in Th(\mathcal{N})$이 됩니다. 따라서 부분집합관계가 성립합니다.

 역인 $Th(\mathcal{M})\subseteq Cn(T)$를 봅시다. $\mathcal{M}\models\alpha$라고 합시다. $T$는 완전하기 때문에 $T\models\alpha$ 혹은 $T\models\neg\alpha$가 성립합니다. 후자인 경우 $\mathcal{M}\models T$이기 때문에 논리적 함축관계에 의해서 $\mathcal{M}\models\neg\alpha$가 되고 한 모형이 어떤 문장과 그 문장의 부정을 참으로 만들어야하는 모순이 생깁니다. 따라서 이 경우는 발생할 수 없고, $T\models\alpha$만이 남습니다. 이는 정의에 의해 $\alpha\in Cn(T)$를 의미합니다. 따라서 증명이 끝났습니다.

 모형의 이론은 언제나 완전하지만, 모형의 이론이 아닌 아무 문장들이나 모아둔 이론은 수학적으로 불안전한 이론들일 확률이 정말 높겠죠. 따라서 불안전한 이론의 존재가 이상할 게 하나도 없습니다. 오히려 완전한 이론이 특수한 경우에 속하고 이걸 발견하는 게 중요한 겁니다. 가령 완전한 이론들의 예시는 다음과 같습니다.

Axiom 1 (Linear order). ∀x∀y(x < y ∨ y < x ∨ y = x)

Axiom 2 (Linear order) ∀x(¬x < x)

Axiom 3 (Transitivity) ∀x∀y∀z(x < y ∧ y < z→x < z)

Axiom 4 (Without endpoints). ∀x(∃y)(y < x)

Axiom 5 (Without endpoints). ∀x(∃y)(x < y)

Axiom 6 (Dense) ∀x∀y(x < y→(∃z)(x < z ∧ z < y))

 안타깝게도, DLO 즉 공리4,5를 뺀 단순한 Dense Linear Order는 불완전한 이론입니다. 왜냐면 DLO에서도 [0,1)처럼 한쪽은 끝점이 없는 경우와 (0,1)처럼 둘다 끝점이 없는 경우가 문장으로 표현될 수 있고 하나가 참이면 다른 하나는 거짓이기 때문에 DLO를 만족하는 모형들 사이에 서로 다른 문장이 참이 되는 경우가 생기고 따라서 위의 4번에 의해서(MT rule을 쓰든 대우를 취하든) 완전하지 않은 이론이 됩니다.

 사실 이 외에도 수많은 좋은 불완전한 이론과 완전한 이론들의 예시가 있으나 대수학 등을 공부하지 않는 이상 쉬운 것들이 없어서 쉬운 예시는 여기까지 합시다. 이제 불완전성 정리에 대해서 볼 겁니다. 불완전성 정리는 20세기 초반에 완전할 것이라 믿어지던 몇 가지 이론들이 그렇지 않다는 것이 밝혀짐으로서 스포트라이트를 받은 결과입니다. 가장 단순한 형태로는 우리가 예전에 공리계로 써놓았던 $PA$가 불완전하다는 것입니다. 수학의 전형적인 이론 중에 하나가 정수론이었고 예전에는 중요한 수학이론들에 대한 기대치가 높았기 때문에, 어떤 정수론적인 문장이 주어지더라도 공리에 의해서 그것을 증명하거나, 언젠가는 그것의 부정을 증명(반증)할 수 있다고 믿었습니다. 그러나 괴델에 의해서 거짓으로 밝혀졌습니다. 우리가 앞에서 볼 수 있듯이, 완전한 이론이란 어떤 문장을 내놓아도, 그것이나 그것의 부정을 증명할 수 있습니다. 불완전한 이론은 그렇지 않은 이론입니다. 즉, 어떤 문장이 있어서 그 문장과 그 문장의 부정을 이론이 모두 증명하지 못합니다. 기호로 쓰면 $T\not\vdash\alpha$이면서 $T\not\vdash\neg\alpha$인 $\alpha$가 존재한다는 것입니다. 그렇다면, 공리를 사용해서 정수론을 전개하는 사람들은 자신이 증명이나 반증하고 싶어하는 어려운 문장이 나왔을 때 둘다 되지 않음에도 영원히 삽질하는 일이 생길수도 있게 됩니다. 실제로 요즘 수학에서는 좀 많이 안풀린다 싶으면 이거 증명도 반증도 안 되는 문장아니야?를 많이 의심합니다. 그렇게 해서 밝혀진 문장도 확실히 존재합니다. 가령 정수론에서는 굿스타인 정리 같이 PA에서는 증명이 안되는 문장들이 있음이 밝혀졌습니다. 굳이 굿스타인 정리를 검색하시지는 마세요.. 꽤 간단한 편이지만 그래도 복잡합니다..

 불완전한 이론이 의미하는 바는 완전성 정리에 의해서 드러납니다. ㅏ를 ㅑ로 바꾸면, $T\not\models\alpha$와 $T\not\models\neg\alpha$가 되고, 이 말은 $T$를 참으로 만들지만 $\alpha$를 거짓으로 만드는 모형이 하나 존재하고, 또 $T$를 참으로 만들지만 $\neg\alpha$를 거짓으로 만드는 다른 모형이 존재한다는 말입니다. 즉 특정 이론에 대해 추론체계를 사용해서는 증명도 반증(주어진 문장의 부정의 증명)도 안 되지만, 특정한 모형 하에서는 참이고, 또한 특정한 모형에서는 거짓인 문장이 존재한다는 말이죠. 세간에 많이 회자되는, 참이지만 증명도 반증도 불가능한 문장이라는 게 이런 말입니다. 정확히는 '특정한 모형 하에서는 참이지만, 추론체계에서 증명도 반증도 안 되는 문장'이라는 거죠.

 괴델이 증명한 건 $PA$에서 그런 문장이 존재한다는 것이었습니다. 정확히 말하면, 표준적인 자연수 모형$\mathbb{N}$에서는 만족가능/참이지만, $PA$에선 증명이나 반증이 안되는 문장이 존재한다는 것이었죠. 그게 제1불완전성 정리이고, 제2불완전성 정리는 $PA$의 일관성을 $PA$의 언어와 $PA$ 공리 안에서 증명할 수 없다는 것이었습니다. 지금 수학하는 사람들의 입장에서야 뭐 스스로의 일관성/무모순성을 자신이 증명한다는 게 뭔가 이상해보이지만, 20세기 초에는 그게 수학이 흠결없는 세계라고 수학자들이 믿던 때였기 때문에 더욱 이 정리가 쇼크였습니다.

 그리고 $PA$보다도 더 중요한 건 수학 자체의 일관성의 문제입니다. 괴델의 정리에서 쓰인 증명을 적당히 잘 조작하면, 현대 수학의 근간이 되는 집합론의 공리체계(ZF 집합론이라고 부릅니다)에다가 비슷한 논리를 적용해서 ZF가 불완전한 체계이며, 또한 ZF에서 ZF의 일관성을 증명할 수 없다는 걸 보일 수 있습니다. 이게 불완전성 정리에서 가장 중요한 결론이었죠. 그래서 수학은 완전하지 않습니다. 정확히 말하면 특정 집합론 공리계를 가지고 수학을 하다보면 원론적으로 막히는 부분이 생길 수밖에 없습니다. 그러면 어떻게 해야 할까요? 첫째로 그 막힌 부분이 다른 공리들을 추가하거나 다른 여러 가지 방법을 써서 기존 수학공리체계에서 증명도 반증도 안 됨(독립적)을 보입니다. 그리고 편의에 따라 그 문장을 배제하고 쓰던지, 아니면 그 문장이나 그 문장의 부정을 기존의 체계에 더해서 좀더 확장된 방식의 수학을 하든지 하면 됩니다.

 가령 ZF에서는 선택공리(AC, Axiom of Choice)라는 게 있습니다. 공집합이 아닌 집합들을 나열했을 때, 그 집합들에서 원소를 하나씩 뽑아서 새로운 집합을 만들 수 있다는 공리입니다. 직관적으로 참인 것처럼 보이지만 실상은 이 공리는 기존의 다른 집합공리들로부터 증명도 반증도 되지 않습니다. 좀더 쉽게 말하면, 선택공리가 거짓이 되는 집합론의 모형을 찾을 수 있고, 선택공리가 참이 되지 않는 집합론의 모형도 찾을 수 있다는 말입니다.

 마지막으로 이런 질문을 던져볼 수 있습니다. $PA$에서 비표준적인 모형들이 존재한다면, $PA$에서 공리를 늘리다보면 표준적인 자연수모형을 포착할 수 있는 공리체계를 만들 수 있지 않을까? 현대적인 괴델의 불완전성 정리 풀이를 하는 와중에 이것은 불가하다는 걸 증명하게 됩니다. 여기서 적을 순 없지만 표준적 자연수모형에서 참인 문장들의 집합인 $Th(\mathbb{N})$는 공리화가 불가능합니다. 어떤 이론 $T$가 공리화가능하다는 말은, $S$라는 이론이 있어서 $Cn(S)=Cn(T)$이고 또한 $S$의 모든 원소를 컴퓨터를 통해 명확히 제시할 수 있다는 말입니다. 물론 여기서 $S$(공리들의 집합, 공리체계)는 사실상 $T$보다 작은 집합일 것입니다. 실질적인 의미는 $T$에서 증명가능한 모든 문장을 포착할 수 있는 어떤 작은 이론이 있고 그 이론이 무엇인지 실제적으로 파악할 수 있다는 말입니다.

 여러 결과에 따르면 표준적인 자연수 모형 $\mathbb{N}$은 공리화가 불가능합니다. 즉, $PA$에 셀 수 없이 많은 문장들을 새로 추가하더라도ㅡ그것이 일관적인 한ㅡ 표준적인 자연수 모형에 대한 공리체계가 될 수 없습니다. 신기하죠?