뉴턴의 제2 법칙 ㅡ 가속도의 법칙

 비록 대학와서 수학 공부하긴 했지만 난 문송이고, 고등학교 다닐 때 과학에 시간 꽤 많이 쏟았는데 1학년 때 3,4등급을 벗어날 수 없어서 문과를 와야 했다. 공부 자체를 늦게 시작했기 때문에 지능이 낮아서 이해 못하는 건 당연한 일이었다. 지금은 F=ma를 이렇게 이해한다.

 사람들이 F=ma로 힘은 질량 곱하기 가속도로 식을 기억하고 있는데, 뉴턴의 운동의 제2법칙은 가속도의 법칙이다. 즉, a= F/m이 원래 식이다. 이 식은 어떻게 나왔을까? 물론 내 생각이 틀릴 수도 있지만 그냥 이렇게 생각할 수 있었다.

 내가 헬창이라서 자동차를 밀 수 있다고 하자. 내가 이 자동차를 밀면 이 자동차는 얼마나 빨라질까? 그리고 자동차가 빨라지는 과정에 어떤 요소들이 영향을 미칠까? 물론 바람이 얼마나 부느냐, 땅이 얼마나 매끄럽냐(즉 빙판이냐 아니냐) 등 여러 상황이 영향을 줄 수 있지만, 아주 단순히, 아주 이상적인 상황에서 '내가 차를 밀면 차가 빨라진다'는 상황에서 고려해야만 할 가장 최소한의 조건들만 본다고 할 때 결코 빠져서는 안 되는 것들이 뭘까?

 우선 내가 차를 밀어서 차가 움직이고 빨라진다면, 어떨 때는 급발진할 때처럼 순식간에 엄청나게 빨라질수도 있고, 어떨 때는 아닐 수도 있다. 가장 쉽게 생각하기 편한 요소는 힘일 것이다. 내가 모든 에너지를 써서 세게 밀면 차가 휘잉 하면서 나갈 것이고, 작게 힘을 쓰면 빨리 안나갈 것이다. 그리고 이상적인 상황에서는 '내가 힘을 주는 만큼 차가 나가는 속도가 빨라질 것'이다. 즉, 차가 빨라지는 속도(가속도)는 이상적으로 힘에 비례한다고 볼 수 있을 것이다.

 힘은 이 상황에서 차를 미는 나에게 해당되는 요소이고, 밀어지는 차에게서 찾아낼 수 있는 요소는 무게일 것이다. 차가 매우 무거우면 당연히 힘을 주어도 잘 안나갈 것이고, 가벼우면 작은 힘으로도 빠르게 나갈 것이다. 이 역시 이상적인 상황에서는 '무거운 만큼, 차가 빠르게 치고 나갈 수 없다'고 볼 수 있고 가속도는 무게에 반비례한다고 볼 수 있을 것이다(다시 말해 가속도는 1/무게에 비례한다)

 힘과 무게 외에 더 많은 요소들도 있을 수 있지만 가장 기초적이고 없어서는 안 될 요소는 딱 이 두 개인 것 같다. 따라서 우리는 '(물체의) 가속도는 가해지는 힘에 비례한다'와 '(물체의) 가속도는 (물체의) 무게에 반비례한다', 그리고 '이 외의 요소들은 개입하지 않는다'로부터 식을 세워야 한다.

 비례라는 건 뭘까? y가 x에 비례한다는 건, x,y 이외의 다른 요소들을 고정시켰을 때 x가 2배 커질 때 y도 그렇다는 것이고 일반화하면 x가 b배 커질 때 y도 b배 커진다는 것이다. 이를 분수로 두면 결국 2배나 b배 한 것이 분모 분자에 모두 있어 상쇄되므로 y/x = 2y/2x = by/bx 라는 것이다. 값이 일정하므로 a라고 한다면, y/x =a이고 y = ax이다. 이때 a는 상수일 수도 있고, 일반적으로는 x와 y 값에 영향을 받지 않는 식이나 값이다. 중등 수학에서는 x,y 외의 다른 변수를 고려하지 않기 때문에 a는 상수가 될 것이다.

 여튼, 이를 본받아 식을 세우면 $a=\alpha F$와 $a=\beta (1/m)$이다. 두 식을 곱하면 $a^2 =\alpha \beta \frac{F}{m}$인데, 가속도가 0인 경우를 제외하면 $a=\frac{\alpha \beta}{a}\frac{F}{m}$이고 $\frac{\alpha \beta}{a}$를 $\gamma$라고 하자. 그러면 $a=\gamma \frac{F}{m}$이다. 이 경우 두 가지를 생각할 수 있다. $\gamma$가 힘과 질량에 독립적인 요소라고 한다면, 힘과 질량을 고정시켰을 때 $\gamma$가 커지는 만큼 $a$도 커질 것이고 둘은 비례관계가 된다. 그러나 우리는 힘과 질량 외에 가속도가 다른 것에 영향을 받지 않는다고 했으므로 $\gamma$는 새로운 독립변수일 수 없다. 따라서 $\gamma$는 상수여야 하는데, 만약 1이 아닌 상수라고 하자. 가령 2라고 한다면, $a=(2F)\frac{1}{m}=(2\frac{1}{m})F$로 쓸 수 있고, 이는 $a$가 $2F$에 비례하고, $2/m$에 비례한다고 쓸 수 있다는 것이다. 즉, 우리가 처음에 세웠던 비례식들과 일치하지 않는다. 가속도는 2힘이 아니라 힘에, (2/질량)이 아니라 (1/질량)에 비례해야 한다. 따라서 $\gamma$가 $1$이 아닌 경우 우리는 처음에 가정했던 상황과 일치하지 않음을 알 수 있다. 따라서 $\gamma =1$이 될 수밖에 없고 $a=\frac{F}{m}$이다. 이를 우리가 익숙한 식으로 변환하면 $F=ma$가 되는 것이다.

 라고 생각했습니다. 당연한 것일 수도 있고, 이상한 것일 수도 있습니다;; 중1 때 덧셈 곱셈을 과외로 배웠기 때문에 초중고 지나면서 과학은 아무것도 이해하지 못하고 지나갔습니다