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 술어논리의 해석의 개념와 관련하여 가장 중요한 개념 세 가지를 살펴봅시다. 이는 술어논리의 첫 시간에도 일부 잠깐 살펴본 것입니다.


Γ는 문장들의 집합, α는 문장이라고 하자.

1. Γ가 만족가능하다는 말은 Γ 안에 있는 모든 문장들을 참으로 만드는 해석이 존재한다는 것이다. 정의에 의해 Γ가 만족가능하지 않다는 말은 Γ의 문장들을 참으로 만드는 해석이 존재하지 않는다는 것이다.
2. ΓαΓ의 모든 문장을 참으로 만드는 해석은 반드시 α도 참으로 만든다는 것으로 정의되며, Γ를 전제(들의 집합), α를 결론이라고 한다. 즉, Γ를 참으로 만드는 해석은 언제나 α를 참으로 만든다는 것이다. 이를 Γα를 논리적으로 함축한다고 말합니다. 그렇지 않은 경우 Γα는 정의에 의해 Γ를 참으로 만들지만 α를 거짓으로 만드는 해석이 존재한다는 말입니다.

3. α가 논리적 참(logical truth)이라는 말은 α가 모든 해석 하에서 참이라는 말이다. 즉, 임의의 I에 대해 Iα라는 말이다. 이와 동치인 개념으로 α 혹은 α가 있다. 논리적 참이 아닌 경우 α로 표기한다. 이는 α를 거짓으로 만드는 해석이 존재하는 말이다.



 논리적 참인 문장만 따로 볼 필요가 있습니다. 은 아무 원소도 지니지 않은 집합입니다. 원소가 없는 집합이란 개념이 생소하실 수 있겠지만 여러 가지 수학적 당위를 위해서 수학에서는 반드시 요구되는 개념입니다. 공집합은 자기자신과 같지 않은 원소들의 집합으로 정의됩니다. 즉, ={x|xx}입니다. 명제논리에서 실질조건문을 공부하셨으면 전건이 거짓이 되는 조건문은 언제나 참으로 정의한다는 걸 보셨을 겁니다. 술어논리에서도 조건문에 같은 방식으로 조건문을 정의했기 때문에 같은 방식이 통용됩니다.

 공집합에 이를 이용해봅시다. 가령 A가 집합이라고 하고 xAxA의 원소라고 하고, x(xAxB)AB의 정의로 합시다. 즉, A가 B의 부분집합이라는 말은 A에 속하는 원소들은 모두 B에 속해야 한다는 말입니다. 이를 이용하면 임의의 집합 A에 대해 A를 증명할 수 있습니다. 즉, x(xA)입니다. 집합론에 관한 아무 해석 I을 가져옵시다. 임의의 aI에 대해 aa에 대한 개체상항이라고 할 때, a는 공집합의 정의상 aa이고 수학적으로 이는 언제나 거짓입니다. 따라서 aaA의 전건은 거짓으로 조건문은 참이 됩니다. 우리는 해석에 속하는 임의의 원소 a를 사용했으므로 결국 원래 문장이 증명됩니다.

 이것이 너무 번거롭다면 귀류법을 쓰면 됩니다. 공집합이 임의의 집합의 부분집합이라는 게 거짓이라고 합시다. 어떤 해석 I와 집합 A가 있어서 Ix(xxA)가 된다는 말입니다. 실질조건문의 정의에 의해서 어떤 aI가 있어서 괄호 안의 전건이 참이 되지만 후건이 거짓이 되는 경우가 있어야 합니다. 전건에 대해서만 보면 a가 되어야 합니다. 그런데 공집합에 원소가 존재한다는 건 자기자신과 같지 않은 대상이 존재한다는 것으로 이는 모순이기 때문에 불가능합니다. 모순은 우리가 가정한 것에서 나왔으므로 따라서 우리가 증명하고 싶은 것이 참이 됩니다.


 논리적 참이라는 개념은 논리적 함축의 개념으로 환원할 수 있습니다. 즉, α가 논리적 참이라는 말은 공집합으로부터의 논리적 함축이라는 말과 동일합니다. 표기로는 α라고 씁니다만, 표기상의 이점으로 인해 공집합은 생략합니다. 이 동치개념은 공집합 때문에 발생합니다. 증명을 해봅시다. 'α가 논리적 참이면, α이다'와 그 역을 증명하면 됩니다.

 우선 α가 논리적 참이라고 가정합시다. 우리는 에 속하는 모든 문장(원소)을 참으로 만드는 해석은 α도 참으로 만든다는 걸 증명하면 됩니다. 그런데 임의의 해석은 반드시 에 속하는 문장을 참으로 만듭니다. 우선 아무 해석 I를 택합시다. 이제 이를 집합론적 기호로 쓰면, β(βIβ)가 됩니다. 이때 β는 문장이라고 합시다. 물론 이 식은 논리학의 식은 아닙니다만 논리기호를 빌려서 우리가 증명하려는 문장의 형태를 보여줄 수 있습니다. 위에서 공집합이 모든 집합의 부분집합이라는 걸 증명할 때와 식이 거의 동일합니다. 이런 식으로 보면 공집합에 대해서 증명했던 방식과 동일하게 참임을 증명할 수 있습니다. 공집합은 원소가 없으므로 β는 언제나 거짓이고 따라서 위의 문장은 실질조건문에 의해 언제나 참입니다.

 혹은, 귀류법을 사용할 수 있습니다. 증명하고자 하는 것의 모순을 가정합시다. 즉, α인데 이는 에 속하는 모든 문장을 참으로 만들고 동시에 α를 거짓으로 만드는 어떤 해석 I가 존재한다는 말입니다. 그러나 전제에 의해서, 우리는 α가 논리적 참이므로 Iα를 참으로 만들어야 하므로 모순이 발생합니다. 따라서 처음에 가정한 것이 틀렸음을 알 수 있으므로 귀류법에 의해 증명하려던 것이 맞게 됩니다.


 역으로, α라고 합시다. 임의의 해석에 대해 α가 참임을 증명하면 됩니다. 임의의 해석 I를 가정합시다. 위와 같은 논리로 I이 됩니다. 이것이 거짓이라면 공집합에 속하는 어떤 원소(문장)에 대해서 해석이 그 문장을 참으로 만들어야 하는데 공집합에는 원소가 없기 때문에 모순입니다. 따라서 I는 공집합을 참으로 만들기 때문에, 논리적 함축의 정의에 의해, 해당 해석은 α를 참으로 만듭니다. I는 임의의 해석이었기 때문에, 결국 임의의 해석이 α를 참으로 만든다는 것을 증명했습니다.


 이렇게 되기 때문에 우리는 α가 논리적 참이라는 말을 α로 줄여쓸 것입니다.
*라는 말은 두 가지 의미로 사용되는 걸 잊지 마시길 바랍니다. Iα는 해석 I에서 α가 참이라는 말이고, ΓαΓ(문장들의 집합)을 참으로 만드는 모든 해석은 α도 참으로 만든다는 말입니다. '해석 하에서 참인 문장'과 '어떤 전제들(문장들의 집합) 하에서 참인 문장'이 구분되서 사용됩니다.

*IΓ를 자주 쓰기도 합니다. 이는 해당 해석이 문장들의 집합에 있는 문장들을 모두 참으로 만든다는 말의 줄임말입니다. IΓ를 참으로 만든다고 말할 때가 많습니다.




1. {AB,¬AC,B¬A,CA}는 만족가능한가?
(A,B,C,D는 문장들이라고 가정)

2. xyPxyyxPxy는 참인가?
3. yxPxyxyPxy는 참인가?
4. xPxxPx는 참인가?



 따로 증명해드리지는 않겠습니다. 직접 풀어보시고 모르시겠으면 댓글을 남겨주시길 바랍니다.

 답은 만족불가능, 참, 거짓, 참입니다. 



***

 수학교재와 철학교재들이 서로 용어사용이 다른 부분이 있습니다. 술어논리 첫 시간에 보았듯이 보통 '타당성'이란 개념은 논증에 사용됩니다. 즉, 어떤 술어논리의 문장들의 나열이 있을 때 마지막 문장을 제외한 문장들이 참인 모든 경우에 마지막 문장도 참인 경우에 논증이 타당하다고 말합니다. 이렇게 보면 논리적 타당성은 논리적 함축과 동일한 개념이라는 걸 알 수 있습니다. 이게 철학책의 관점입니다.

 수학에서 다루는 논리학에서는 논리적 함축과 타당성을 다르게 사용합니다. 여기서 정확히 설명하기는 어렵지만, 문장의 경우 논리적 참인 문장 = 타당한 문장으로 봅니다. 즉, sentence A is logical truth = A is (logically) valid로 봅니다. 일반적으로 타당성이란 개념은 논증에 사용하기 때문에 이 경우는 전제들의 집합이 공집합인 경우에만 한정하여 논증의 타당성 개념을 사용하고 있습니다. α인 경우에만 한정하여 사용합니다. 아마도 전제들이 참일 때 결론도 반드시 참이라는 개념을 '논리적 함축'이라는 이름으로 사용하기 때문에, 굳이 '타당성'이라는 이름을 다시 붙일 필요가 없어서 갈곳 잃은 타당성이란 이름을 전제들이 공집합인 특수한 논증으로 보낸 게 아닌가 싶습니다. 그러나, 수학적인 맥락이 아니라면 타당성은 전제가 공집합인 특수한 경우가 아니라 일반적인 전제들에 대해서도 사용한다는 점을 항상 염두에 두시길 바랍니다.




Posted by 괴델
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