어느 히키코모리의 블로그

프레게의 첫째 과제인  '자연수는 논리기호와 논리법칙으로 환원가능하다'를 해결하기 위해서는 먼저 자연수 외에 여러 가지가 다루어져야 합니다. 그 중에 첫 번째로 다루어져야 하는 것이 프레게 논리주의 체계에 있어서 '개념(concept)'입니다. 이번 글에서는 이에 대해서 다루기로 합시다.

술어(predicate) 대상(object) 개념(concept)

가령 이런 문장이 있다고 칩시다.

 "김정은은 김정일보다 젊다"

이 문장은 그 자체로 완성된 문장이죠? 여기서 '김정은'이라는 단어를 제거해봅시다.

 "       은 김정일보다 젊다" 라는 불완전한 뭔가(?)가 만들어집니다.

프레게는 이런 형식을 술어(predicate)라고 정의합니다. 즉, 완전한 문장에서 특정한 대상들이 제거되었을 때 생기는 발언이 술어입니다.^[각주:1] 술어는 그 자체로 불완전하고 참/거짓(True/False)을 가릴 수 있는 발언입니다.

가령,        에 김일성을 도입하면 위 문장은 틀린 문장이 되지만, 김정은이나 박근혜를 도입하면 참인 문장이 됩니다. 여기서 도입되는 것들은 대상(object)이라고 부릅니다(대상은 name을 전제하기 때문에 명사를 지칭합니다).

완전한 문장에서 대상이 제거된 것이 술어이고, 이 술어가 의미하는 바를 개념(concept)^[각주:2]이라고 부릅니다. 개념과 술어가 완전히 같은 것이라 생각할 수 있지만 다르다는 것을 알아야 합니다. 술어는 '완전한 문장에서 대상을 제한 표현'이고, 개념은 '술어의 의미(meaning of predicative expression)'입니다. 쉽게 말해서 그냥 대상이 없는 표현이 써져있으면 술어이고, 술어의 의미가 뭔가 하는 게 개념입니다. 하지만 크게 구분이 가는 것들이 아니기 때문에, 앞으로 사용하면서 살펴보도록 합시다.

프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)는 논리주의(logicism) 사상으로 유명합니다. 프레게의 논리주의란 쉽게 말해서 이렇게 정리하면 될듯 합니다.

"수학의 모든 성질은 논리법칙과 논리기호로 환원된다. 수학은 논리학으로 환원될 수 있다."

 이는 논리학과 수학이 상당한 점으로 공통점을 가지고 있었기 때문에 가능한 생각이었습니다. 바로 수학과 논리학은 오류가능성이 적은 '가장 엄밀한 학문'이다는 점입니다. 프레게는 이런 생각을 바탕으로, 논리주의를 주장했습니다.

  프레게는 이런 생각을 정당화하기 위해서 두가지를 증명해야 했습니다.

 자연수는 논리기호와 논리법칙으로 환원가능하다

 현대수학의 엄밀성은 19세기 말에 와서야 엄밀성을 완전하게 지니게 됩니다. 그전까지는 수학용어나 정리(theorem) 대한 명확한 정의나 증명이 부족했고, 당연하게도 수학에 엄밀성이 부족하다는 주장이 수학자들 내에서 나타났습니다. 이를 해결한 여러 수학자 중에 대표적으로 데데킨트(Richard Dedekind)가 있습니다. 자연수에 대한 엄밀성으로부터 정수, 유리수, 실수 등의 수학체계의 엄밀성을 이끌어 낸 사람이죠. 사람들이 많이 아는 데데킨트-페아노 공리계가 데데킨트의 생각으로부터 나옵니다.

 프레게는 당대의 고전수학이 '자연수'를 가장 기본으로 하여 세워진 체계라고 판단했기 때문에, 자연수를 논리기호로 환원하는 것이 자신의 첫 번째 과제라고 생각했습니다.

수학의 모든 법칙은 논리기호로 환원가능하다

 프레게의 첫째 과제인 '자연수를 논리기호로 환원'가 해결된다면 남은 것은 그 자연수체계 위에 세워진 수학 전체를 논리학으로 환원하는 것이었습니다. 프레게에게는 첫 번째 과제가 해결된다면 이는 연역적으로 추론가능한 과제였습니다. 수학 체계 자체가 자연수를 하부구조로하여 세워졌기 때문에, '자연수→수학'의 연역적구조에서 '자연수⊂논리학'이 증명된다면, '(자연수⊂논리학)→수학' 역시 연역적으로 추론가능한 것이기 때문입니다. 프레게는 이 문제를 해결하기 위해서 자연수를 포함해서 수학을 구성하는 기초적인 법칙들이 논리학으로 환원된다는 것만 밝히면 되었습니다.

이 두가지를 증명하는 것이 프레게의 과제였고, 먼저 선행되어야 하는 것은 자연수를 논리학적으로 정의하는 것이었습니다. 다음 시간에는 이에 대해서 다루기로 합니다.

소크라테스(Socrates)는 플라톤(Plato)의 스승으로, 플라톤의 이데아론에 강력한 영향을 미친 인물이다. 소크라테스는 '영혼불멸설'을 주장했으며, 이데아론을 논리적으로 정당화한 인물이다. 이 포스트에서는 플라톤의 이데아론과 그의 정치철학의 태동에 관해서 소크라테스가 어떤 사상적 기반을 제공했는지를 살피기로 한다.

소크라테스의 영혼불멸설

소크라테스는 영혼이 실체(substance)ㅡ시공간의 변화를 겪지 않고 고정불변으로 존재하는 것ㅡ라고 생각했다. 즉, 세계가 시작했던 과거에나 지금이나 미래에나 영혼 자체는 아무 변화없이 지속적으로 존재한다고 본 것이다. 이에 대해서는 플라톤의 저서『파이돈』^[각주:1]을 참고해야 한다. 책에서 소크라테스에게 케베스는 이렇게 질문을 한다.

…하지만 사람이 죽은 다음에도 그 영혼이 여전히 존재하고, 여전히 기능을 한다는 것을 증명하려면, 그에 대한 엄밀한 논증이 필요합니다."

소크라테스는 이에 대해서 '반대되는 것은 반대되는 것으로부터 나온다'는 순환사상을 핀다. 즉, 차가운 것은 뜨거운 것으로부터, 무거운 것은 가벼운 것으로부터 나오고, 분열과 결합, 냉각과 가열, 좋은 것과 나쁜 것 등등이 모두 반대되는 관계에서 생겨난다고 주장한다. 더 나아가, 세상에 존재하는 모든 것이 반대되는 것으로부터 나온다고 한다.^[각주:2] 이는 반대되는 것들 사이에 교체관계가 존재한다는 의미다. 여기에서 소크라테스는 '삶과 죽음' 또한 반대관계에 있기 때문에 삶은 죽음으로부터, 죽음은 삶으로부터 나온다고 주장합니다.

1. ∀x(Fx∧Gx→Hx) = 모든 x가 (개념/함수) F와 G를 만족하면, x는 H를 만족한다(혹은 x는 H에 속한다).

2. ∃x(Fx∧￢∃y(Fy∧x≠y)) = x는 F를 만족하고, F를 만족하면서 x와 같지 않은 y는 존재하지 않는다

   = F를 만족하는 변수는 x밖에 없다

   = x만이 F를 만족한다

   =there exist only one thing that satisfies F

3. ∃x(Fx∧∀y(Fy→x=y)) = x는 F를 만족하고, 모든 y에 대해서 y가 F를 만족한다면 x=y이다.

                                   = F를 만족하는 변수는 한개밖에 없다

                                   = 2번 예제와 동일한 식

2와 3에 대해서 부언하자면,￢∃xFx ↔ ￢∀xFx가 성립합니다.

즉, 'F를 만족하는 x가 존재하지 않는다'는 '모든 x는 F를 만족하지 않는다'는 같은 의미입니다.

이를 응용해서, 2번 식에서 ￢∃y(Fy∧x≠y)는 부정기호 ￢와 ≠를 동시에 사용해서, ￢∃y(Fy∧x≠y)는 ∀y(Fy→x=y)와 같은 의미를 지니게 됩니다.

4. ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧￢∃z(Fz∧(z≠x ∧ z≠y)))

 = x는 F를 만족하고, y는 F를 만족하면서 x와 y는 같지 않다(F를 만족하는 변수가 최소 2개가 존재한다)

   +F를 만족하면서 x와 같지도 않고 y와 같지도 않은 z는 존재하지 않는다

= F를 만족하는 변수는 2개밖에 없다(최소 2개있고, 최대 2개 있다)

5. ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧∀z(Fz→(z=x ∨ z=y)))

= x는 F를 만족하고, y는 F를 만족하면서 x와 y는 같지 않다 + 모든 z에 대해서 z가 F를 만족하면 z는 x와 같거나 y와 같다.

=F를 만족하는 변수는 2개밖에 없다

4번 식과 5번식 역시 같은 의미를 지니므로

∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧￢∃z(Fz∧(z≠x ∧ z≠y))) ↔ ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧∀z(Fz→(z=x ∨ z=y))) 입니다.

존재양화사(existential quantifier) ∃(turned E)

존재양화사 ∃는 'there is at least one x'(x는 변수)로 정의되며, 한글로는 '적어도 한개가 존재한다' 혹은 '존재한다'로 해석된다.

ex) ∃x : x가 존재한다/적어도 하나의 x가 존재한다

     ∃xFx : F를 만족하는 x가 존재한다

(논리학에서 보통 F는 Function의 줄임말으로 '함수' 혹은 '개념'을 의미한다. 보통은 개념이라고 해석한다. 굳이 F가 아니더라도 대문자에다가 소문자 변수가 달려있으면 대문자는 개념이나 함수를 의미)

보편양화사(universal quantifier) ∀(turned A)

∀는 'for all'이라고 정의되며, '모든 ~에 대하여'라고 해석된다.

ex) ∀x : 모든 x에 대하여

     ∀xFx : 모든 x가 F를 만족한다/F를 만족하는 모든 x(에 대하여)

필요충분조건기호 ↔(if and only if = iff)

 중고등학교 수학에서는 ↔를 모순기호로 배웠을 것으로 예상되는데, 논리학에서는 모순기호는 따로 있고 필요충분조건기호(if and only if)로 ↔를 사용한다. 같은 의미로는 '↔' '⇔'가 있다.  사람들은 필요충분조건기호로는 ⇔가 더 익숙할 것이다.

 if 과 only if

 한국에서는 충분조건과 필요조건으로 해석되는 것이 영어로는 다른 용어와 기호로 사용된다.

p→q : if p then q   ↔ p는 q이기 위한 충분조건(sufficient condition)이면서 q는 p이기 위한 필요조건/필수조건(necessary condition)

p←q(q→p) : only if p then q    ↔ q는 p이기 위한 충분조건이면서 p는 q이기 위한 필요조건

only if p then q(혹은 q only if p)의 해석은 "오직 p일 때만 q이다"이다. 집합론을 배울 때, 오직이나 하나로 해석되는 것은 대우를 생각해보라 했었다.

즉,  "오직 p일 때만 q이다"의 대우명제는 "p가 아닌 경우에는 결코 q가 될 수 없다"다.

논리기호로 이를 나타내면,  ￢p→￢q이고 대우명제에 의해서 다시 q→p이다.^[각주:1]

이에 대해서는 http://sciphy.tistory.com/483 여기를 참조하길 바란다(여기를 참조했습니다)

부정기호

중고등학교 수준에서는 부정기호를 ~로 사용하지만, 대학교 수준에서는 ~는 전혀 다른 의미를 지니기 때문에 부정기호는 ￢를 사용한다. 의미는 'not'이다.

가령, 바로 앞의 기호 설명에서 ￢p→￢q는 'not p→not q'와 같은 의미를 지닌다.

모순기호

⊥가 논리학과 수학에서는 모순기호를 담당한다.

가령 'F를 가정할 경우 모순이 생긴다'는 문장은 논리기호로 F→⊥ 로 표시하고, ￢F와 같은 의미를 지닌다.

연언기호

∧가 연언기호를 담당한다.

한자로는 연언(連言) 즉, '이어주는 말' 혹은 '말을 잇다'를 의미하므로, 'and'를 의미한다고 보면 된다.

ex) A∧B = A와 B(A and B)

    ∀x(Fx∧Gx) = 모든 x는 F와 G를 만족한다.

선언기호

∨가 선언기호를 담당한다.

選言(선택할 선, 말씀 언)을 한자로 쓰는데, 말 그대로 '선택'의 의미를 지닌다.

가령, A∨B는 A와 B 중에서 선택한다는 것으로, 'A' 'B' 'A∧B' 3가지 경우를 가진다. 영어로는 A or B로 쓰인다.

 많은 사람들이 철학은 어렵고, 지루하고 머리에 안들어오는 것이라 생각한다. 그리고 어쩌면 그에 대한 반동으로 '저런 거 배워서 어디에다가 쓰겠어?'라고 생각하는지도 모른다.

나는 철학도로서, 그에 대한 변명을 한가지 하고자 한다.

독자가 대학생이라면, 당장 집에가서 자신의 전공책을 펴보길 바란다. 어떤가? 쉽게 읽혀지고 쉽게 이해가 가는가?

이공대에 막 입학한 친구들이여, 여러분은 1년동안 미적분을 강제적으로 이수해야 한다. 여러분의 교재일

'Thomas calculus 12th edition'을 펴보아라. 어떤가. 쉬운가?

문대생들이여, 앞으로 여러분이 구입했거나 구입하게 될 여러분의 전공원서를 쳐다보아라. 쉬운가?

아니다ㅡ.

결코 쉽지 않다.

각 전공은 전공에서 사용하는 용어들이 다르다. 수학과 물리학의 언어는 '수학기호'다. 철학의 언어는 그와 비슷한 '언어로 써진 복잡한 말들'이다. 전자는 기호고, 후자는 일상언어들의 결합이기 때문에 철학은 쉬워야 하는가?

아니다ㅡ. 철학 역시, 대학에서 학문분과로써 존재하는 과목이다. '생각'을 깊이 연구하는 사람들이 만든 '전공'책들인데, 여러분이 쉽게 철학책을 읽을 수 있겠는가? 단언컨대, 아니라고 말할 수 있다. 철학서적들도 엄언히 대학에서 교재로 사용하는 '전공'책이기도 하고, 논문의 주제로 사용하는 책이기도하다.

그런 책들을 아무것도 모르는 일반인이 맞딱트렸을 때, 바로 한번에 이해할 수 있을까?

그러니 여러분, 철학이 어려울 수밖에 없습니다. 아니, 더 정확히 말하면 철학을 포함한 '전공'으로 다루어지는 학문들은 모두 어렵습니다. 따라서 철학책들을 보고 '그들만의 연회'라고 하지 마십시오. 그렇다면, 여러분은 대학에서 다루어지는 모든 학문을 그렇게 비하하는 셈이되는 거니까요.

철학은 어렵습니다. 따라서 철학을 공부할 사람들은, 철학이 어렵다는 것을 인정하고 공부하는 편이 낫습니다.

-1724년, 11자녀 중 넷째로 출생
-13세에 어머니 사망
-1740년, 17살에 쾨니히스베르크 대학에 입학. 6년동안 공부
-1747~1754년 가정교사(일종의 과외)로 생계유지
-1755년, 31살에서 쾨니히스베르크 대학으로 돌아옴.
-1755년, 일반논문과 학위논문 교수자격논문을 제출
-1756년, 32살에 논리학, 형이상학 자리가 공석이 되어 원외교수에 지원. 탈락.
-1758년, 34살에 교수직 지원. 탈락.
-1764년, 40살에 프로이센 당국에서 문학부 교수직을 제의했지만 거절(자기 분야가 아니므로)
-1756년~1770년, 32살부터 46살까지 사(私)강사ㅡ오늘날의 시간강사급ㅡ로 지냄.
                          그래도 생계유지가 어려워 왕립도서관 사서로 투잡

-1770년, 46살에 드디어 쾨니히스베르크 대학 논리학 형이상학 정교수로 임용
-1781년, 57살에 기념비적인 저서 '순수이성비판'을 출간. 하지만 학계에서 매장당할 정도로 비난을 받음
-1788년, 64살에 '실천이성비판'을 출간
-1790년, 66살에 '판단력비판'을 출간
-1793년, 69살에 '순전한 이성의 한계 내에서의 종교' 출간
-1796년, 72세에 교수직 사임(1756~1796기간동안 강의했으니 40년강의)
-1797년, 73살에 '윤리형이상학' 출간
-1799년, 75세에 건강이 심하게 악화됨.
-1804년, 79세의 나이로 하인에게 포도주 한잔을 청하고 '좋군!(es ist gut)'이라 하고 생을 마감.
-강단에서 논리학 형이상학 물리학 수학 지리학 교육학 신학 윤리학 자연법 등 우리가 생각할 수 있는 대부분의 학문을 공부하고 강의함.
-평생 독신
-죽을때까지 고향인 쾨니히스베르크를 떠나지 않음.

 주목할만한 건, 밥벌이가 안되서 졸업후에 7년동안이나 과외를 했다는 것. 그리고 32살부터 무려 46세까지 14년동안이나 시간강사를 뜀. 300년전에도 교수되기는 힘들었나보다. 그리고 시간강사로 생활비가 안되서 도서관 사서로 투잡을 뛰었다는 건 너무나 큰 쇼크다. 그때나 지금이나 비정규직은 살기 힘들었나보군.. 그리고 무려 10년동안이나 무거운 침묵을 지키고 기념비적인 비서 '순수이성비판'을 써내었다는 것. 그리고 무려 73세까지 활발한 저술활동을 하고, 72세까지 강단에 섰다는 것. 대단하다 정말.