어느 히키코모리의 블로그

프레게의 자연수 정의를 이끌어 내기 위한 직접적인 개념들이 이번 시간부터 소개될 것 같습니다.

프레게의 기수 정의(cardinal number definition)

프레게는 자연수를 정의하기 전에 다시 한번 다른 수를 정의합니다. 바로 기수입니다. 기수는 크기수라고 보면 되구요, 수의 size를 의미합니다. 한글로는 하나 둘 셋 넷 등등의 명칭을 나타내죠. 프레게의 개념과 관련해서는, 가령 'F를 만족하는 대상이 셋이다'고 말할 때 쓰일 수 있습니다.

좀있다가 보겠지만, 모든 자연수는 기수입니다. 그렇기 때문에 프레게는 이를 위해서 기수를 먼저 정의하게 됩니다.

프레게의 기수 정의는 위와 같습니다. 해석하자면,

'n이 기수인 것은 n=#F를 만족하는 개념 F가 존재하는 것과 필요충분조건이다' 입니다.

전 시간에 프레게는 수를 외연으로 도입했었습니다. 그리고 모든 개념은 반드시 그 개념의 외연을 지닌다고 했었죠.

따라서 개념 F가 존재한다면, F와 관련된 외연이 존재하고 이는 #F={X:F≈X}를 보장합니다.

즉, 프레게 체계에서는 개념 F가 존재하기만 하면 #F의 존재는 보증됩니다.

위의 기수 정의는 그렇게 만들어진 #F가 특정 수로 표기될 수 있을 때(가령 1, 2, 3, 4), 그 특정 수를 기수라고 부르자는 겁니다.

기수에도 여러 가지 종류가 있는데요, 가령 '홀수의 수'는 어떤 자연수와도 대응되지 않는 기수입니다. 하지만 자연수는 각각 모두 특정 수에 대응되는 수이구요.

프레게는 이런 기수들 간의 차이를 명확하게 하기 위해서 자연수개념을 분명히 하려 합니다.

Successor Relationship

여기부터는 이제 자연수 정의와 직접적으로 관련되는 것들입니다.

자연수를 정의하기 위해 프레게는 Successor Relationship이라는 개념을 가지고 나타납니다. 한글로 해석하자면, '다음 수 관계'입니다.

자연수는 1부터 시작해서 다음수 관계를 지속해가는 집합이죠?

가령, 1 다음은 2, 그 다음은 3, 다음은 4, …. 프레게는 이렇게 나타나는 자연수 사이의 관계를 정의하려고 합니다.

먼저, succeed(계승하다)에 대해서 이렇게 정의를 하는군요.

'succeeds' to mean "is one bigger than,"

 그 다음에 Successor Relationship에 대해서 정의합니다.

"The number of Fs succeeds the number of Gs if and only if there exists an x that falls under F such that the number of Gs = the number of the concept falls under F but is not identical to x"

"F의 수가 G의 수의 다음에 오는 필요충분조건은 F를 만족하는 대상 x에 대해서, G의 수가 'x를 만족하지 않으면서 그 나머지가 F에 맞아 떨어지는 개념의 수'일 때다."

무슨 소린가 하면, F를 만족하는 대상이 a b c d 가 있고, G를 만족하는 대상이 e f g가 있다고 칩시다.

그렇다면 G의 수는 F에서 특정한 대상 아무거나를 제외한 수와 같다는 겁니다. 가령, F에서 c를 제외한다면

c를 제외한 F의 대상은 F-c = a b d이고 이는 G를 만족하는 대상 e f g와 수가 같습니다. 위의 정의는 이를 의미합니다.

Succeed의 정의에 따라 F의 수는 G의 수보다 한 개가 많습니다. F와 G 사이에는 다음수 관계가 존재하는 것이죠.

자연수 조건으로 따지면, …G F(G의 다음수)…가 되겠습니다.

프레게는 이제 이런 추상적인 언어를 직접 수에 적용시킵니다.

먼저 프레게는 0부터 정의를 내립니다.

0=#[x : x≠x]

설명하자면 []기호는 개념을 나타냅니다. {}는 집합이고, 프레게 용어로 외연(extension)을 나타내구요.

[x : x≠x]는 어떤 개념이 x≠x라는 의미를 지니고 있음을 의미합니다. F = [x : x≠x] 셈인 것이죠.

#[x: x≠x]는 따라서 #F이고, []를 만족하는 대상의 수를 의미합니다.

0 = #[x: x≠x]란 말은 0을 '자기 자신과 같지 않은 개념'의 수를 의미합니다.

이를 이해하기 위해서는 형식논리학의 3대 전제를 알아봐야 합니다.

형식논리학에서는 '동일률' '모순율' '배중률'을 삼대 전제로 삼습니다.

프레게는 이런 형식논리적 전제를 가지고 0을 정의한 겁니다. 형식논리의 모순율에 따르면, x≠x는 허용되지 않습니다. x≠x가 성립할 경우, x=x라는 동일률에 대해서 x=x와 x≠x가 동시에 성립해야 합니다. 논리식으로 ￢(x=x) ∧ (x=x)로 표기되고 이는 완벽한 모순입니다. 따라서 형식논리적으로 x≠x를 만족하는 대상은 존재할 수가 없습니다. 그렇기 때문에 프레게는 0을 x≠x를 만족하는 개념의 수로 정의한 겁니다.

0 = #[x: x≠x]

프레게는 이제 다음수(successor relation)을 이용해서 1을 정의합니다.

1=#[x: x=0]. 프레게는 위의 0 = #[x: x≠x]을 다시 하나의 수로 간주합니다. 즉, 'x=0'을 하나의 수로 간주한 것이죠. 그렇게 해서 1 = #[x: x=0]을 정의합니다.

2 = #[x: x=0 ∨ x=1]. 2 또한 0과 1을 이용해서 정의합니다. 다른 수들도 이렇게 모두 표현합니다.

3= #[x : x=0 ∨ x=1 ∨ x=2]

4=#[x : x=0 ∨ x=1 ∨ x=2 ∨ x=3]

…

n = #[x : x=0 ∨ x=1 ∨ x=2 ∨ … ∨ x=n-1]

n+1= #[x : x=0 ∨ x=1 ∨ x=2 ∨ … ∨ x=n-1 ∨ x=n ]

이제 프레게가 해야 할 일은 0과 1사이, 1과 2사이 ~ n과 n+1등을 모두  다음수 관계로 엮는 겁니다.

프레게는 Successor를 다시 이런 논리기호로 정의합니다.

S#G#F ↔∃x(Fx&#G=#[y:y≠x&Fy])

이는 앞의 Successor relationship을 그대로 논리기호로 옮긴 것입니다.

"The number of Fs succeeds the number of Gs if and only if there exists an x that falls under F such that the number of Gs = the number of the concept falls under F but is not identical to x" 를 논리기호로 옮긴 것이죠.

의미는 앞과 동일합니다. "x가 F를 만족하고, G의 수는 '특정 변수 x를 제외하고(x와 같지 않고) F를 만족하는 y의 수'"

즉, #G보다 #F가 수가 기수가 하나더 크다는 말입니다.

이 관계를 방금 정의한 0 1 2 수들에 적용해 봅시다.

S01 ↔ S#[x : x≠x]#[x : x=0] ↔ ∃z(z=0 ∧ #[x : x≠x]=#[y : y≠z ∧ y=0])

뭔가... 어려워 보이죠? 쉽게 설명해드리겠습니다.

∃z(z=0 ∧ #[x : x≠x]=#[y : y≠z ∧ y=0]) 에서 'z=0'은 위의 S 논리기호 정의에서 Fx에 대응합니다.

즉, z=0은 하나의 개념입니다. z가 0이라는 개념이죠. #[x : x≠x]는 0입니다. 이를 Successor 정의와 관련해서 보자면, #[x : x≠x]=0을 정의하기 위해서는 1 = #[x : x=0]을 이용해야합니다. [x : x=0]을 만족하는 특정 대상 하나를 제외하고 나머지 수와 같은 걸 0이라고 만들어야 S01이 Successor를 만족하게 됩니다.

#[y : y≠z ∧ y=0]는 그런 맥락입니다. y≠z는 y가 'z=0'과 같지 않다는 걸로, 0이라는 개념을 만족하는 특정 대상 하나를 제외하겠다는 걸 의미합니다.  y≠z ∧ y=0은 따라서 'z와 같지 않으면서 y=0(#[x : x=0]=1에 해당하는 개념)'를 만족함을 의미합니다.

즉, 논리식으로 정의한 0과 1의 관계를 보았을 때, 1은 'x = 0'이라는 개념을 만족하는 수였죠? 0을 정의하기 위해서, 1에 해당하는 개념(z=0)에서 대상 하나를 제외(y≠z)하고 그 나머지에서 1이라는 개념(y=0)이 만족하는 대상의 수를   #[y : y≠z ∧ y=0]라고 한 겁니다.

개념적으로 보았을 때, #[y : y≠z ∧ y=0]는 0을 나타냅니다. #[x : x≠x]과 같은 수이죠. 왜냐구요?

y≠z는 곧 y≠0(z=0이라 했으므로 y≠z=0)을 의미합니다. 동시에 y=0을 만족해야 하죠. 그렇다면, 위 식은

y=0과 y≠0을 동시에 만족해야 하기 때문에 모순이 됩니다. 앞에서 이런 식들을 모두 0으로 정의하기로 했었죠?

따라서 #[y : y≠z ∧ y=0] = 0이 됩니다.

이해를 돕기 위해 S12까지 해봅시다.

S12 ↔ S#[x : x=0]#[x : x=0 ∨ x =1]이고

S#[x : x=0]#[x : x=0 ∨ x =1] ↔ ∃z( (z=0 ∨ z= 1) ∧ #[x : x=0]=#[y : y≠z ∧ (y= 0 ∨ y=1)]) 입니다.

z=0 v z=1은 2=#[x : x=0 ∨ x =1]의 개념이죠. 1(#[x : x=0])을 정의하기 위해서, y가 'z=0 v z=1' 라는 개념에서 한가지를 제외(y≠z^[각주:1])하고 그를 제외하고 y가 만족하는 그 개념의 수를 따집니다.

즉, z=0 v z=1의 수는 2이죠. 2에서 2를 만족하는 특정 대상들(0과 1)중에서 한가지 가령 z=1을 제외하고 2를 만족하는 대상은 z=0밖에 없습니다. 따라서 z=1을 제외하고 z=0 v z=1을 만족하는 대상은 z=0밖에 없지요.

따라서 #[y : y≠z ∧ (y= 0 ∨ y=1)]는 1을 나타내게 되고 #[x : x=0]와 같은 수이게 됩니다.

이제 자연수 정의를 해보도록 합시다.

프레게의 자연수 정의

앞서 말했듯이, 자연수는 각각의 인접한 수들끼리 다음수 관계에 놓여있습니다. 0과 1, 1과 2, 2와 3 등등.

이런 관계는 S01, S12, S23 ~ Snn-1 Snn+1로 나타낼 수 있습니다.

이를 자연수 전체에다가 적용시키면 0 1 2 3 4 5 6 7 8 이런 관계가 논리식에 나타나야 합니다.

우선, 0→1→2→3→4→…→n→… 으로 나타내는 →의 관계를 논리식으로 만들어봅시다.

∀x∀y((Fx ∧ Sxy) → Fy)가 됩니다. 프레게식으로는 F is hereditary with S(F-S heredity)라고 말합니다.

F와 S의 관계가 유전적이라는 것이죠.

위 식은 '모든 x y에 대해서, x가 F를 만족하고 y가 x의 다음수라면(Sxy) y 또한 F를 만족한다'를 의미합니다.

일단 Sxy에서 x와 y는 각각의 개념의 수(가령 x=#G y=#F)를 나타냅니다.

즉, x와 y는 모두 수입니다. x라는 수가 F라는 개념에 있고 y가 x+1(x의 다음수)라면 y도 F에 속한다.

쉽게 설명하자면, 특정수 x=3이 있습니다. 위 정의에 따라서 3은 뭔지는 모르겠지만 F라는 개념을 만족합니다(혹은 F에 속합니다).

그렇다면, Sxy는 S3y일 것이고, 다음수 정의에 따라 y=4가 되어  S34가 됩니다.

F안에 3이 속하고, 3과 4가 다음수 관계에 있기 때문에 정의에 의해서 4또한 F안에 속하게 됩니다.

즉, F에는 3과 4라는 대상이 존재하지요.

이를 연쇄적으로 보면 3→4에서, 4가 다시 F를 만족하기 때문에 S4y를 만들고 이에 따라 S45가 만들어지고, 5는 F를 만족하게 됩니다.

즉, F안에는 3→4→5가 만들어지는 것이지요. 연쇄적으로보면, 3→4→5→6→…→n→…  이렇게 무한적으로 진행됩니다. 자연수는 이런 성질을 가지고 있죠.

∀x∀y((Fx ∧ Sxy) → Fy)는 단지 진행상황만 나타내기 때문에 시작점을 알 수가 없습니다.

하지만 자연수는 분명히 시작점이 있지요.^[각주:2] 0이든 1이든간에요. 여기서는 프레게를 따라 자연수를 0부터 시작하는 것을 채택하기로 합시다.

자연수를 0으로부터 시작한다고 정의하면, 위의 F-S heredity 식에다가 단순히 F0이라고 시발점을 정해주면 됩니다.

즉,  F0 ∧ ∀x∀y((Fx ∧ Sxy) → Fy)에는 이런 의미가 있습니다.

0이 F를 만족하고 F0 ∧S0y에 의해서 S01이 되고 F1이 성립합니다.

즉, 0→1이 만족되고 0과 1이 모두 F에 속하게 됩니다. 1을 다시 위의 식에다가 대입하면 1→2가 산출되고, 2→3, 3→4 등이 모두 F를 만족하는 대상이 됩니다.

'0→1→2→3→4→5→6→…→n→…' 등 우리가 아는 모든 자연수가 이제 위의 식에 포함됩니다.

따라서, 특정 수 k가 자연수를 나타낸다는 건 이렇게 정의할 수 있겠죠.

이 식이 바로 프레게의 자연수 정의입니다.

굳이 해석을 달아주자면,

"k가 자연수일 필요충분조건은 '모든 개념 F에 대해서 0이 F를 만족하고, 모든 x와 y에 대해서, x가 F를 만족하고 y가 x의 다음수 관계이면 y는 F에 속하게 될 때, k는 F에 속한다."

좀더 설명하자면, k는 0이 지니는 모든 유전적 속성을 지니게 된다는 의미입니다.

0→1→2→3→4→5→6→…의 관계도가 k에게도 그대로 적용된다는 의미이지요.

전제와 결론부를 나눠서 본다면,

∀F[F0 ∧ ∀x∀y((Fx ∧ Sxy) → Fy)까지가 전제부이고, Fk가 결론부입니다. 둘은 '→' 기호로 연결되어 있죠.

→기호는 집합관계로 따지면 p→q는 P⊂Q를 나타냅니다. 이를 위의 식에 적용시킨다면,

전제는 0→1→2→3→4→5→6→…를 함축하고 있고, 결론부는 그런 전제를 ⊂ 즉, 포함하고 있습니다.

전제부의 F0속성과 다음수 관계의 속성이 k에 포함되어 있다는 것이죠.

즉, k또한 F0과 다음수 관계(더 정확히는 S-F heredity)를 지니게 됩니다.

따라서 위의 식에서 k를 자연수관계에 두는 것에 아무 문제가 없게 되죠.

프레게의 자연수 정의와 관련하여 볼 것은 저 정의가 자연수를 '귀납적으로' 정의하고 있다는 겁니다.

쉽게 말해서, 고등학교 때 배우는 수학적 귀납법의 의미를 저 정의가 그대로 담고 있습니다.

'최초수 0이 F를 만족하고, n이 F를 만족하고 n+1또한 F를 만족한다면 모든 자연수는 F를 만족하게 된다'

는 귀납적인 의미를 담고 있지요. 이런 정의와 프레게의 수에 대한 생각은 현대 집합론에서 자연수를 정의하는데 아주 큰 기여를 하게 됩니다.

프레게의 첫째 과제였던 이제 위 자연수 정의에 따라서, '자연수는 논리기호와 논리법칙으로 환원가능하다'는 프레게에겐 이제 해결된 듯합니다.

프레게의 논리와 관련해서 더 깊게 다룰 수 있긴 하지만, 제가 다루려는 부분에서 상당히 동떨어진 것들이 많기 때문에 프레게의 여러 가지 개념과 정의에 대해서는 여기까지 서술하겠습니다.

다음시간에는 프레게 체계의 문제점들과 이를 지적한 러셀(의 역설)에 대해서 다루는 걸로 프레게와 관련한 논의를 마무리 짓겠습니다.

아마도 프레게와 관련된 논의는 다음글이나 다다음글에서 끝날 것 같네요. 이번 글에서는 프레게의 수정의를 살펴보고 된다면 자연수 정의까지 하도록 할게요.

외연으로써의 수(數)정의

프레게는 흄의 원리(Hume's principle)과 연관지어서 수를 다음과 같이 정의합니다.

'F들의 수' = 'F와 일대일 대응인 개념의 외연'

여기서 외연(extension)에 대한 설명이 필요할 듯하네요.

외연이란 '개념을 만족하는 대상들을 하나로 묶은 하나의 전체이며 집합(collection)'입니다.^[각주:1] 외연은 집합(collection)이면서 하나의 대상(object)입니다. 하나의 대상이기 때문에 존재규정문장에 사용해도 별 무리가 없습니다.

이제 위의 수 정의를 살펴보도록 합시다.

수를 외연(하나의 집합)으로 정의하는 것을 설명하는 건 상당히 이해하기 어려울 수 있습니다. 상당히 생소한 개념이거든요.

가령 계절의 수는 '계절이라는 개념과 일대일 대응인 개념의 외연'으로 정의됩니다.

계절의 수는 봄 여름 가을 겨울로 4개입니다. 프레게는 이 '4'라는 수를 '개념을 만족하는 대상의 수가 4개인 개념들 전체'로 정의한 겁니다.

개념을 만족하는 대상의 수가 4개인 개념은 '계절' '사각형의 변' '사각형의 각' '엄지를 제외한 손가락' 등 셀 수 없이 많습니다. 프레게는 이 개념들을 모두 하나의 같은 수로 정의한 겁니다.

집합으로 나타내면, The number of season of the year={계절, 사각형의 변, 사각형의 각, 엄지를 제외한 손가락,…}=4가 됩니다.

금방 사례같은 것들을 일반화해서 집합으로는 이렇게 나타낼 수 있습니다.

= 

#F={X:F≈X}. 해석하자면, F의 수=F와 일대일 대응관계에 있는 개념의 집합(외연)

프레게의 수 정의는 위에서 설명한 바와 같습니다. 빠트린 게 있는데, 프레게는 모든 개념이 반드시 외연을 가지고 있다고 보았습니다. 즉, 어떤 개념을 제시하든지 그 개념을 만족하는 대상들 전체(집합/외연)을 만들어 낼 수 있다고 본 것이죠.

나중에 다루겠지만, 이런 프레게의 수 정의는 당시로써는 상당히 기발한 것이었습니다. 수를 수가 아니라 하나의 집합으로 정의한 것이니까요. 이런 정의 방식은 후대에 집합론을 건설하는데 상당히 많은 도움을 주게 됩니다.

이번 글에서는 여기까지만 다루고, 다음글에서 자연수 정의에 필요한 직접적인 개념들을 소개하도록 하겠습니다(된다면 자연수 정의까지

이번에는 드디어 프레게의 수정의가 서술됩니다.

흄의 원리(Hume's principle)

프레게는 수를 정의하기 위해서 수와 관련된 존재규정문장을 제한시켰었습니다. 즉,

와 같은 식을

으로 제한시켰습니다.

이제 The number of Fs = The number of Gs 의 의미를 살펴서 수의 테두리를 살피면 됩니다.

이에 대해서 프레게는 흄의 원리(Hume's principle)을 사용합니다.

  "the number of Fs is equel to the number of Gs if and only if there's a one-to-one coreespondence between Fs and the Gs"를 의미합니다(위키백과 참조).

해석하자면, F들의 수와 G들의 수가 같기 위해서는 개념 F와 G사이에 일대일 대응관계가 존재해야 한다는 것이죠.

일대일 대응관계란 함수에 나타나는 일대일 대응관계와 일치합니다.

풀어쓰면, 'F를 만족하는 대상들(objects)들이 모두 G의 대상들에 각각 하나씩 대응하고 G를 만족하는 대상들이 모두 F의 대상들에 각각 하나씩 대응하는 것'이 F와 G 사이에 일대일 대응이 있다고 할 수 있을 것 같습니다.

수학적으로는 개념(함수) F와 G사이에 일대일 대응관계가 존재할 때

라고 표기합니다.

흄의 원리는 따라서 로 표기합니다(#=number)

흄의 원리는 자명한데요, F와 G 사이에 일대일 대응관계가 존재한다는 건 'G에 대응하는 F의 수'가 'F에 대응하는 G의 수'가 같다는 걸 의미합니다. 따라서 함수 F와 G 사이에 일대일 대응관계가 존재한다면 F를 만족하는 대상의 수와 G를 만족하는 대상의 수는 같게 됩니다. 역도 성립하구요.

프레게의 수(數)정의와 흄의 원리

프레게는 이 흄의 원리를 이용해서 수를 정의합니다.

먼저 프레게는 흄의 원리에 나타난 일대일 대응관계를 논리식으로 표현합니다.

∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

이에 대해서 의미분석을 해보겠습니다.

∃R : Relations(관계)가 존재한다

∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) : 모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면, Rxy이면서 G를 만족하는 y가 단 한 개 존재한다.

Rxy : x와 y는 특정관계로 이루어져 있다.

즉, ∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy))는 다시 말해서 '모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면, x와 특정 관계에 있으면서 G를 만족하는 y는 단 한 개 존재한다'는 의미입니다.

∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx)) : 모든 y에 대해서 y가 G를 만족한다면, y와 관계맺으면서 F를 만족하는 x는 단 한 개 존재한다.

이 모두를 합친다면

∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

: 모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면 x와 관계맺으면서 G를 만족하는 y가 단 한 개 있고, 모든 y에 대해서 y가 G를 만족하면, y와 관계맺으면서 F를 만족하는 x는 단 한 개가 있는 관계가 존재한다.

이 식이 바로 일대일 관계가 존재한다는 논리식입니다.

식의 의미를 살피다보면, F와 G사이에 일대응 대응관계가 존재하는 것이 곧 #F=#G를 의미한다는 것을 알게 됩니다.

따라서, 흄의 원리를 프레게식으로 정리하면 이렇게 됩니다.

#F=#G  ↔ F≈G  ↔ ∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

분량상 프레게의 수정의는 다음 글에서 다루어야 할  것같습니다. 다음 글에서 프레게의 수정의를 보도록하죠.

후아아아 드디어 기다리던 프레게의 수정의입니다. 이번 시간에는 수를 대상으로 도입하는 것과 프레게의 자연수 정의를 살펴보도록 하겠습니다.

대상(object)으로서의 수도입

이차술어가 아니라 대상으로서 수를 도입하기 위해서는, 앞에서 사용했던 존재규정문장(identity statement)를 이용해야합니다.

"x는 y다"의 형식에서, 일반적으로 x와 y의 자리에는 명사가 들어갑니다.

프레게가 자연수를 논리기호로 정의하기 위해서는 당연하게도 수를 수량형용사가 아닌 명사로서 도입해야합니다. 왜냐면 수학에서 다루는 수는 "3명의 왕"같은 수가 아니라 "1+1=2" "2x3=6"에 사용되는 수이기 때문입니다. 1+1=2에 사용되는 수는 속성(property)가 아니라 명사와 수사로서의 수이죠?

이런 작업을 위해서 필요한 게 바로 '존재규정문장'입니다. 앞서 말한 것처럼, 존재규정문장에는 기본적으로 명사가 이용되기 때문이죠.

따라서 프레게의 수정의는 일차적으로 이런 형태를 나타냅니다.

존재규정문장으로는 "The number of Fs is k"입니다.

The number of Fs는 개념 F를 만족하는 대상의 개수를 의미합니다. 직역하면  'F들의 수'가 되겠습니다.

위와 같이 쓴다면 확실히 수는 대상으로 도입됩니다.

가령, "학교의 수는 3이다"는 문장에서 학교의 수와 3은 동일하고 모두 명사로서의 대상임을 알 수 있습니다.

프레게는 이 식을 기초로해서 자연수를 정의합니다.

이제 이 식을 분석해서 수를 정의할 수 있을 듯합니다.

하지만, 저 상태로는 의미있는 것을 산출해낼 수 없습니다. 'F들의 수'가 어떤 의미를 지니고, 다른 대상들(가령 유니콘)과 어떻게 다른지를 알기 위해서는 'F들의 수'의 테두리를 정해야 합니다.

이를 위해서 프레게는 수들간의 관계를 살핍니다.

존재규정문장의 형태를 같은 수끼리로 제한시키는 겁니다. 이제 'F들의 수=G들의 수'라는 제한된 존재규정문장을 가지고 수의 테두리를 정하면 됩니다.

이에 대한 구체적인 논의는 다음시간에 하도록 합시다.

내가 알고 있는 지식들을 블로그에 포스트하는 게 얼마나 힘든 일인지를 알았다ㅋㅋ

특히 아에 기초부터 시작하는 경우에;

프레게의 논리주의적 기획을 처음부터 설명하려다보니, 여러 가지 개념을 설명해야해서 힘들다.

그냥 프레게의 논리주의적 기획을 쉽게 설명하려면 프레게의 자연수정의 하나 던져주고 러셀의 역설만 설명하면 되는데ㅋㅋㅋ

찾아보다보면 상당히 수학이나 철학을 어렵게 설명하는 경우가 많아서 용어를 잘 모르는 사람들에게는 이해하기 힘들 수 있겠다는 생각을 한다. 그래서 기초부터 포스트하려는 거고ㅋ

음... 그래도 복습하는 겸 하는 것이기 때문에 나도 도움이 된다

 이번 시간에는 이차술어와 수와의 관계를 살피기로 합니다.

존재규정문장과 이차술어

외국어 원서로 된 단어를 한국어로 해석하는 일은 매우 힘든 일입니다;; 원래라면 프레게 용어로 "recognition statement"나 "identity statement/sentence"를 써야합니다. 쉽게 말하자면, "___ is(are) ___" 나 = 기호처럼 존재를 규정하는 문장을 이릅니다. 여튼, 이글에서는 그런 문장들은 존재규정문장으로 사용합시다.

존재규정문장은 본질적으로 이차술어를 내포하고 있습니다.

"x는 y다"는 모든 존재규정문장을 변수로 처리해서 일반화한 문장입니다. 이 문장은 이렇게 해석될 수 있습니다.

"there's at least one x such that x is y" 즉, "x=y인 x가 적어도 하나 존재한다"는 것이죠.

이 문장에서 "__는 y다"는 1차술어를 제거한다면, 원래 문장은 "___x___"이 됩니다.

"there's at least one x such that __x__"이며, "___인 x가 적어도 하나 존재한다"는 의미가 되죠.

이 역시 술어이기 때문에 x와 y값에 따라 술어는 참이 되기도 거짓이 되기도 합니다.

이렇게 본다면, 모든 존재규정문장은 이차술어이며 이차개념을 가지고 있습니다.

이제 이 개념을 수(數)와 관련지어 볼 수 있을 것 같습니다.

이차술어와 수(數)

이차술어가 나타내는 바는 이차개념입니다. 전에 설명했듯이, 개념은 속성(property)와 동치관계입니다. 따라서 이차개념은 대상의 속성의 속성(property of property of object)을 의미하구요. 수(數) 또한 대상의 속성의 속성으로 받아들일 수 있을 것 같습니다.

가령, "3명의 왕이 있다"는 문장이 있습니다. 이 문장에 대해서 개념분석을 한다면,

x가 왕이면서, 왕의 수가 3이다는 걸 이끌어낼 수 있습니다.

"there's exactly three x's such that x is a king"으로 쓸 수 있으며, 대상과 속성의 관계에서 보자면 x의 속성(king)의 속성이 3이라는 걸 알 수 있습니다. 이렇게 본다면, 수를 포함하는 양화문장은 이차술어를 포함할 수밖에 없습니다.

하지만 여기에는 문제가 있습니다. 프레게가 도입하려는 수(數)는 속성(property)로서의 수가 아니라 대상(object)으로서의 수이기 때문입니다.

이차개념은 대상에 대한 2차 속성을 내포하고 있기 때문에, "3명의 왕이 있다"같은 문장에 쓰이는 수는 본질적으로 대상이 아닌 속성일 수밖에 없습니다. 즉, 여기서 쓰이는 3은 수사(數詞)가 아니라 성질을 나타내는 '수량형용사'라는 겁니다.

'3명의 왕'(정확히는 세 왕이라 해야 합니다만. 편의상 3명의 왕이라 쓴 겁니다. 즉, thee kings라 해야 더 올바른 표현입니다)에서 3은 왕을 수식하는 형용사(속성)에 불과합니다.

따라서, 프레게는 수를 이차개념이 아닌 하나의 대상으로서 도입해야합니다. 즉, 논리기호에 수를 수량형용사가 아닌 명사로서의 수로 도입해야한다는 거죠.

다음 글에서는 수를 속성(concept/property)이 아닌 대상(object)로 도입하는 과정을 서술하도록 하겠습니다.

이번 글은 자연수 정의를 이끌어 내기 위해서, 저번글의 연장 선상에서 술어(predicate)를 좀더 살펴봅시다.

술어(predicate)의 종류

"김정은은 김정일보다 젊다"에서 제거할 수 있는 대상은 '김정은' 혹은 '김정일'이죠?

그렇다면 대상과 관련해서는 술어를 3가지 형태로 만들 수 있습니다.

"       은 김정일보다 젊다"

"김정은은        보다 젊다"

"        은        보다 젊다"

첫 번째와 두 번째 형태의 술어를 한자리 술어(one-place predicate)라고 부르고,  세 번째 형태의 술어를 두자리 술어(two-place predicate)라고 부릅니다. 물론, 대상자리에 공란이 생기기 때문에 어떤 대상을 도입하느냐에 따라 술어는 참이되거나 거짓이 됩니다. 특히 두자리 술어는 순서쌍을 만들 수 있습니다.

가령 <박근혜,이명박>은 술어를 참으로 만들고, <이명박, 박근혜>는 술어를 거짓으로 만듭니다. 두자리 술어부터는 공란이 두개가 생기기 때문에 두 대상 사이에 특정 관계(relations)가 성립합니다.

아마도 술어를 다른 방식으로 분류할 수 있을 듯합니다.

앞에서 보았듯이 "김정은은 김정일보다 젊다"에서 제거할 수 있는 있는 대상의 양상은 3가지로 나타났습니다.

모두 '대상'을 제거해서 술어를 만든다는 것이 동일합니다. 프레게는 이렇게 대상을 제거해서 만드는 술어를 1차 술어(first-level predicate)라고 하고, 그렇게 만들어지는 것을 1차 개념(first-level concept)이라고 합니다.

완전한 문장에서 '대상'을 제거해서 만드는 것이 1차 술어입니다. 술어를 만드는 방법은 또 있는데요, 완전한 문장에서 '대상'을 제하는 것이 아니라 '1차 술어'를 제거해버리면 됩니다. 완전한 문장에서 1차 술어를 제거해서 만들어진 불완전한 표현을 2차 술어(second-level predicate)이라 합니다.

글자만 써져있어서 이해하기 어렵죠? 기호적으로 2차 술어에 대해서 더 살펴봅시다.

앞선 글에서 말했듯이, 개념과 술어는 밀접한 관련이 있습니다. 개념(concept)란 말은 속성(property)과 동치관계라고 보면 됩니다. 이와 관련해서 보면,

1차 개념(first level concept)은 대상의 속성(property of object)

2차 개념(second level concept)은 대상의 속성의 속성(property of property of object)

을 의미합니다.

1차 개념은 "       은 김정일보다 젊다"에서 술어를 참으로 만드는 대상에 한해서, 공란에 들어갈 대상(object)이 어떤 것이든 그 대상의 속성이 "김정일보다 젊다"를 가지고 있음을 의미합니다. 즉, 공란은 'younger than 김정일'을 필연적으로 지니는 겁니다.

"모든 인간은 포유류이다"라는 완전한 문장이 있습니다. 이 문장에 담긴 의미는 뭘까요?

좀더 명확하게 보기 위해서 논리기호를 이용해봅시다.

위의 문장은 ∀x(x는 인간→x는 포유류)로 나타낼 수 있습니다.

개념적으로 분석하면, x의 1차 속성은 인간이고, 2차 속성은 포유류라는 걸 알 수 있습니다. 다시 말해서, 대상의 속성의 속성까지 개념분석이 되는 겁니다.

그렇다면, 이 문장에서는 두가지를 제거해 볼 수 있을 것 같습니다.

1. "___는 인간"을 제거한다면, ∀x(x____→x는 포유류)

2. "___는 포유류"를 제거한다면, ∀x(x는 인간→x___)

"___는 인간"이나 "___는 포유류"는 모두 1차 술어에 해당하기 때문에, 1차 술어를 제거한 위의 논리식은 2차 술어에 해당합니다.

2차 술어 또한 술어이기 때문에 술어의 참/거짓을 가릴 수 있습니다.

가령, 1의 일차술어 자리에 "___는 어류"를 도입한다면, 1의 논리식은 ∀x(x는 어류→x는 포유류)가 되어서 틀린 문장이 됩니다. 동시에, "___는 고양이"를 도입한다면 ∀x(x는 고양이→x는 포유류)가 되어서 참이 되겠죠.

2의 경우에는, 1차술어 자리에 "___는 포유류"를 넣으면 참이지만, "___는 식물"을 넣으면 거짓이 됩니다.

앞의 x자리 술어와 x차 술어를 엮어서 응용할 수도 있습니다.

∀x(x는 인간→x는 포유류)에서 "___는 인간"이나 "___는 포유류" 중 하나를 제거한다면, 한자리 술어임과 동시에 2차 술어/개념이 됩니다.

하지만, "___는 인간"이나 "___는 포유류"을 모두 제거해서 ∀x(x___→x___)"를 도출해냈다면, 이는 두자리 술어임과 동시에 2차 술어가 됩니다.

이번 글은 여기서 마치고, 다음 글에서는 2차술어에 대한 심화를 다루고 여유가 된다면 자연수에 관련된 기호들을 소개하겠습니다.