프레게의 논리주의적 기획(3)ㅡ술어의 종류

 

 

이번 글은 자연수 정의를 이끌어 내기 위해서, 저번글의 연장 선상에서 술어(predicate)를 좀더 살펴봅시다.

 

 

술어(predicate)의 종류

 

 

"김정은은 김정일보다 젊다"에서 제거할 수 있는 대상은 '김정은' 혹은 '김정일'이죠?

 

그렇다면 대상과 관련해서는 술어를 3가지 형태로 만들 수 있습니다.

 

 

"       은 김정일보다 젊다"

 

"김정은은        보다 젊다"

 

"        은        보다 젊다"

 

 

첫 번째와 두 번째 형태의 술어를 한자리 술어(one-place predicate)라고 부르고,  세 번째 형태의 술어를 두자리 술어(two-place predicate)라고 부릅니다. 물론, 대상자리에 공란이 생기기 때문에 어떤 대상을 도입하느냐에 따라 술어는 참이되거나 거짓이 됩니다. 특히 두자리 술어는 순서쌍을 만들 수 있습니다.

 

가령 <박근혜,이명박>은 술어를 참으로 만들고, <이명박, 박근혜>는 술어를 거짓으로 만듭니다. 두자리 술어부터는 공란이 두개가 생기기 때문에 두 대상 사이에 특정 관계(relations)가 성립합니다.

 

 

 

 

아마도 술어를 다른 방식으로 분류할 수 있을 듯합니다.

 

앞에서 보았듯이 "김정은은 김정일보다 젊다"에서 제거할 수 있는 있는 대상의 양상은 3가지로 나타났습니다.

 

모두 '대상'을 제거해서 술어를 만든다는 것이 동일합니다. 프레게는 이렇게 대상을 제거해서 만드는 술어를 1차 술어(first-level predicate)라고 하고, 그렇게 만들어지는 것을 1차 개념(first-level concept)이라고 합니다.

 

완전한 문장에서 '대상'을 제거해서 만드는 것이 1차 술어입니다. 술어를 만드는 방법은 또 있는데요, 완전한 문장에서 '대상'을 제하는 것이 아니라 '1차 술어'를 제거해버리면 됩니다. 완전한 문장에서 1차 술어를 제거해서 만들어진 불완전한 표현을 2차 술어(second-level predicate)이라 합니다.

 

글자만 써져있어서 이해하기 어렵죠? 기호적으로 2차 술어에 대해서 더 살펴봅시다.

 

앞선 글에서 말했듯이, 개념과 술어는 밀접한 관련이 있습니다. 개념(concept)란 말은 속성(property)과 동치관계라고 보면 됩니다. 이와 관련해서 보면,

 

1차 개념(first level concept)은 대상의 속성(property of object)

2차 개념(second level concept)은 대상의 속성의 속성(property of property of object)

 

을 의미합니다.

 

 

1차 개념은 "       은 김정일보다 젊다"에서 술어를 참으로 만드는 대상에 한해서, 공란에 들어갈 대상(object)이 어떤 것이든 그 대상의 속성이 "김정일보다 젊다"를 가지고 있음을 의미합니다. 즉, 공란은 'younger than 김정일'을 필연적으로 지니는 겁니다.

 

 

"모든 인간은 포유류이다"라는 완전한 문장이 있습니다. 이 문장에 담긴 의미는 뭘까요?

 

좀더 명확하게 보기 위해서 논리기호를 이용해봅시다.

 

위의 문장은 ∀x(x는 인간→x는 포유류)로 나타낼 수 있습니다.

 

개념적으로 분석하면, x의 1차 속성은 인간이고, 2차 속성은 포유류라는 걸 알 수 있습니다. 다시 말해서, 대상의 속성의 속성까지 개념분석이 되는 겁니다.

 

그렇다면, 이 문장에서는 두가지를 제거해 볼 수 있을 것 같습니다.

 

1. "___는 인간"을 제거한다면, ∀x(x____→x는 포유류)

2. "___는 포유류"를 제거한다면, ∀x(x는 인간→x___)

 

"___는 인간"이나 "___는 포유류"는 모두 1차 술어에 해당하기 때문에, 1차 술어를 제거한 위의 논리식은 2차 술어에 해당합니다.

 

 

2차 술어 또한 술어이기 때문에 술어의 참/거짓을 가릴 수 있습니다.

 

가령, 1의 일차술어 자리에 "___는 어류"를 도입한다면, 1의 논리식은 ∀x(x는 어류→x는 포유류)가 되어서 틀린 문장이 됩니다. 동시에, "___는 고양이"를 도입한다면 ∀x(x는 고양이→x는 포유류)가 되어서 참이 되겠죠.

 

2의 경우에는, 1차술어 자리에 "___는 포유류"를 넣으면 참이지만, "___는 식물"을 넣으면 거짓이 됩니다.

 

 

앞의 x자리 술어와 x차 술어를 엮어서 응용할 수도 있습니다.

 

∀x(x는 인간→x는 포유류)에서 "___는 인간"이나 "___는 포유류" 중 하나를 제거한다면, 한자리 술어임과 동시에 2차 술어/개념이 됩니다.

 

하지만, "___는 인간"이나 "___는 포유류"을 모두 제거해서 ∀x(x___→x___)"를 도출해냈다면, 이는 두자리 술어임과 동시에 2차 술어가 됩니다.

 

 

이번 글은 여기서 마치고, 다음 글에서는 2차술어에 대한 심화를 다루고 여유가 된다면 자연수에 관련된 기호들을 소개하겠습니다.