프레게의 논리주의적 기획(4)ㅡ2차술어와 수(數)

 이번 시간에는 이차술어와 수와의 관계를 살피기로 합니다.

 

존재규정문장과 이차술어

 

외국어 원서로 된 단어를 한국어로 해석하는 일은 매우 힘든 일입니다;; 원래라면 프레게 용어로 "recognition statement"나 "identity statement/sentence"를 써야합니다. 쉽게 말하자면, "___ is(are) ___" 나 = 기호처럼 존재를 규정하는 문장을 이릅니다. 여튼, 이글에서는 그런 문장들은 존재규정문장으로 사용합시다.

 

존재규정문장은 본질적으로 이차술어를 내포하고 있습니다.

 

"x는 y다"는 모든 존재규정문장을 변수로 처리해서 일반화한 문장입니다. 이 문장은 이렇게 해석될 수 있습니다.

 

"there's at least one x such that x is y" 즉, "x=y인 x가 적어도 하나 존재한다"는 것이죠.

 

이 문장에서 "__는 y다"는 1차술어를 제거한다면, 원래 문장은 "___x___"이 됩니다.

 

"there's at least one x such that __x__"이며, "___인 x가 적어도 하나 존재한다"는 의미가 되죠.

 

이 역시 술어이기 때문에 x와 y값에 따라 술어는 참이 되기도 거짓이 되기도 합니다.

 

 

이렇게 본다면, 모든 존재규정문장은 이차술어이며 이차개념을 가지고 있습니다.

 

이제 이 개념을 수(數)와 관련지어 볼 수 있을 것 같습니다.

 

 

 

이차술어와 수(數)

 

이차술어가 나타내는 바는 이차개념입니다. 전에 설명했듯이, 개념은 속성(property)와 동치관계입니다. 따라서 이차개념은 대상의 속성의 속성(property of property of object)을 의미하구요. 수(數) 또한 대상의 속성의 속성으로 받아들일 수 있을 것 같습니다.

 

가령, "3명의 왕이 있다"는 문장이 있습니다. 이 문장에 대해서 개념분석을 한다면,

 

x가 왕이면서, 왕의 수가 3이다는 걸 이끌어낼 수 있습니다.

 

"there's exactly three x's such that x is a king"으로 쓸 수 있으며, 대상과 속성의 관계에서 보자면 x의 속성(king)의 속성이 3이라는 걸 알 수 있습니다. 이렇게 본다면, 수를 포함하는 양화문장은 이차술어를 포함할 수밖에 없습니다.

 

하지만 여기에는 문제가 있습니다. 프레게가 도입하려는 수(數)는 속성(property)로서의 수가 아니라 대상(object)으로서의 수이기 때문입니다.

 

이차개념은 대상에 대한 2차 속성을 내포하고 있기 때문에, "3명의 왕이 있다"같은 문장에 쓰이는 수는 본질적으로 대상이 아닌 속성일 수밖에 없습니다. 즉, 여기서 쓰이는 3은 수사(數詞)가 아니라 성질을 나타내는 '수량형용사'라는 겁니다.

 

'3명의 왕'(정확히는 세 왕이라 해야 합니다만. 편의상 3명의 왕이라 쓴 겁니다. 즉, thee kings라 해야 더 올바른 표현입니다)에서 3은 왕을 수식하는 형용사(속성)에 불과합니다.

 

 

따라서, 프레게는 수를 이차개념이 아닌 하나의 대상으로서 도입해야합니다. 즉, 논리기호에 수를 수량형용사가 아닌 명사로서의 수로 도입해야한다는 거죠.

 

 

다음 글에서는 수를 속성(concept/property)이 아닌 대상(object)로 도입하는 과정을 서술하도록 하겠습니다.