프레게의 논리주의적 기획(6)ㅡ프레게 수정의와 흄의 원리

이번에는 드디어 프레게의 수정의가 서술됩니다.

 

흄의 원리(Hume's principle)

 

프레게는 수를 정의하기 위해서 수와 관련된 존재규정문장을 제한시켰었습니다. 즉,

 

 

 

와 같은 식을

 

 

으로 제한시켰습니다.

 

 

이제 The number of Fs = The number of Gs 의 의미를 살펴서 수의 테두리를 살피면 됩니다.

 

이에 대해서 프레게는 흄의 원리(Hume's principle)을 사용합니다.

 

  "the number of Fs is equel to the number of Gs if and only if there's a one-to-one coreespondence between Fs and the Gs"를 의미합니다(위키백과 참조).

 

해석하자면, F들의 수와 G들의 수가 같기 위해서는 개념 F와 G사이에 일대일 대응관계가 존재해야 한다는 것이죠.

 

일대일 대응관계란 함수에 나타나는 일대일 대응관계와 일치합니다.

 

풀어쓰면, 'F를 만족하는 대상들(objects)들이 모두 G의 대상들에 각각 하나씩 대응하고 G를 만족하는 대상들이 모두 F의 대상들에 각각 하나씩 대응하는 것'이 F와 G 사이에 일대일 대응이 있다고 할 수 있을 것 같습니다.

 

 

수학적으로는 개념(함수) F와 G사이에 일대일 대응관계가 존재할 때

라고 표기합니다.

 

 

흄의 원리는 따라서 로 표기합니다(#=number)

 

 

흄의 원리는 자명한데요, F와 G 사이에 일대일 대응관계가 존재한다는 건 'G에 대응하는 F의 수'가 'F에 대응하는 G의 수'가 같다는 걸 의미합니다. 따라서 함수 F와 G 사이에 일대일 대응관계가 존재한다면 F를 만족하는 대상의 수와 G를 만족하는 대상의 수는 같게 됩니다. 역도 성립하구요.

 

 

 

 

프레게의 수(數)정의와 흄의 원리

 

프레게는 이 흄의 원리를 이용해서 수를 정의합니다.

 

먼저 프레게는 흄의 원리에 나타난 일대일 대응관계를 논리식으로 표현합니다.

 

∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

 

이에 대해서 의미분석을 해보겠습니다.

 

∃R : Relations(관계)가 존재한다

∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) : 모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면, Rxy이면서 G를 만족하는 y가 단 한 개 존재한다.

Rxy : x와 y는 특정관계로 이루어져 있다.

 

즉, ∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy))는 다시 말해서 '모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면, x와 특정 관계에 있으면서 G를 만족하는 y는 단 한 개 존재한다'는 의미입니다.

 

∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx)) : 모든 y에 대해서 y가 G를 만족한다면, y와 관계맺으면서 F를 만족하는 x는 단 한 개 존재한다.

 

이 모두를 합친다면

 

∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

: 모든 x에 대해서 x가 F를 만족하면 x와 관계맺으면서 G를 만족하는 y가 단 한 개 있고, 모든 y에 대해서 y가 G를 만족하면, y와 관계맺으면서 F를 만족하는 x는 단 한 개가 있는 관계가 존재한다.

 

이 식이 바로 일대일 관계가 존재한다는 논리식입니다.

 

식의 의미를 살피다보면, F와 G사이에 일대응 대응관계가 존재하는 것이 곧 #F=#G를 의미한다는 것을 알게 됩니다.

 

 

따라서, 흄의 원리를 프레게식으로 정리하면 이렇게 됩니다.

 

 

#F=#G  ↔ F≈G  ↔ ∃R[∀x(Fx→∃1y(Rxy ∧ Gy) ∧ →∀y(Gy→∃1x(Ryx ∧ Fx))]

 

 

분량상 프레게의 수정의는 다음 글에서 다루어야 할  것같습니다. 다음 글에서 프레게의 수정의를 보도록하죠.