어느 히키코모리의 블로그

Our Last Night은 포스트 하드코어 밴드입니다. 막 따끈따끈한 곡이 나왔네요. 자신의 아버지가 자신이 힘들 때 도와줄 수 없었기 때문에, 자신의 자녀가 생기면 누구보다도 그를 신경쓰는 부모가 되겠다는 내용입니다.. 자신이 받을 수 없었던 것을 타인에게 나눠줌으로 대리만족을 얻을 수밖에 없다는 사실이 너무 슬프게 다가옵니다. 곡은 그렇지만 꼭 부모관계에 대입하여 생각해야 할 필요는 없습니다.

*영상의 마지막에 보면 자신의 아버지와 함께 집에 들어가는 것을 알 수 있습니다. 슬픈 사실이기도 하지만, 아버지 세대는 우리와 달랐기 때문에 우리의 고통에 공감할 수 없었던 것일 수도 있습니다. 사랑했지만 우리가 무엇을 겪고 있는지 몰랐고, 사랑에 대한 정확한 방법을 몰랐던 것이죠..

Lost(난 길을 잃었었단다)

[Intro: Matt Wentworth]
When I was lost, I was searching for someone to be the light to follow through the dark
길을 잃었을 때, 내 앞의 어둠을 밝혀줄 누군가를 찾아헤맸어

No one was there
그러나 아무도 없었어
I promise you when you're lost, I will save you
네가 그렇게 된다면 내가 반드시 널 구해줄게
I wanna be the one to lead you through the dark
네 손을 잡고 어둠 속을 같이 걸어나갈게

I'll never leave you
절대 널 떠나지 않을게
I promise you won't be alone
널 결코 홀로 두지 않을게

[Verse 1: Trevor Wentworth & Matt Wentworth]
Looking back at it, I should've fallen apart
되돌아보면, 그 말들에서 좀더 떨어졌더라면 좋았을거야
(*I should have fallen apart from the things the person said;; 나를 오히려 상처입게 만들었던 아버지의 말을 그대로 받아들이지 않고 그 말에서 떨어졌더라면.. 이라는 이야기입니다)

I can tell you the story of how I've got these scars
내가 이 상처들을 입게 된 이야기를 해줄게
I was young, all alone, heart turning to stone
난 어렸고, 홀로였고, 내 마음은 돌처럼 굳어버렸었어
No attention, no love, all I heard was "Hold on"
어떤 관심도, 사랑도 받지 못했어, "이겨내야 해"라고만 들었어
(Hold on, hold on, hold on)
참아, 견뎌, 이겨내야 해
It felt more than I can handle
그러나 그건 내가 견딜 수 있는 것 이상이었어
I never learned, I never learned from example

난 아무것도 배울 수 없었어, 그 말들로부터

[Chorus: Trevor Wentworth & Matt Wentworth]

When I was lost, I was searching for someone to be the light to follow through the dark
길을 잃었을 때, 내 앞의 어둠을 밝혀줄 누군가를 찾아헤맸어

No one was there
그곳엔 아무도 없었어
I promise you when you're lost, I will save you
네가 그렇게 된다면 내가 반드시 널 구해줄게
I wanna be the one to lead you through the dark
네 손을 잡고 어둠 속을 같이 걸어나갈게

I'll never leave you
널 결코 떠나지 않을거야
I promise you won't be alone (Alone, alone, alone, alone, alone, alone)
넌 결코 홀로 되지 않을거야
I promise you won't be alone
내가 너와 함께 있을거니까

[Verse 2: Trevor Wentworth & Matt Wentworth]
If you'd write a song, I'll listen a million times
네가 노래를 쓴다면, 난 그 노래만 평생 들을거야
And if I see that you're drowning, I would be your life-line
네가 깊은 강에 빠졌을 때, 내가 네 구명밧줄이 될게
You'll never be perfect, just know I understand
모든 걸 견뎌낼 수 있는 완벽한 아이는 세상에 없어, 나도 그랬었어

You've already shown me what it means to be a man

넌 이미 내게 아버지가 된다는 게 뭔지 알려줬어
You can tell me anything, I won’t always agree
내가 수긍하지 않을 만한 어떤 것도 이야기해도 돼

But I'll be glad you didn't bury it inside like me
난 그저 네가, 내가 그랬던 것처럼 마음 속에 모든 걸 묻어버리지 않을거란 것에 감사할거야

[Chorus: Trevor Wentworth & Matt Wentworth]

When I was lost, I was searching for someone to be the light to follow through the dark
길을 잃었을 때, 내 앞의 어둠을 밝혀줄 누군가를 찾아헤맸어

No one was there
아무도 없었어
I promise you when you're lost, I will save you
네가 그렇게 된다면 내가 반드시 널 구해줄게
I wanna be the one to lead you through the dark
네 손을 잡고 어둠 속을 같이 걸어나갈게

I'll never leave you
널 결코 떠나지 않을거야

[Bridge: Matt Wentworth]
These are my wounds to overcome
이것들이 내가 극복했야 했던 상처들이야
Even if the fight has just begun, I have won
싸움이 막 시작됐어도, 난 이미 이겼어
These are my wounds to overcome
이건 내가 극복해야 할 상처야
Even if the fight has just begun, I have won
싸움이 막 시작됐어도, 난 이미 이겼어
(아이들이 태어나고 이제 좋은 아버지로서의 삶의 싸움이 시작됐으나, 이미 이겼다는 것. 왜냐면 자신이 받지 못한 것들로부터 어떻게 아버지로서 살아야하는지 알았기 때문)

[Chorus: Trevor Wentworth & Matt Wentworth]

When I was lost, I was searching for someone to be the light to follow through the dark
길을 잃었을 때, 내 앞의 어둠을 밝혀줄 누군가를 찾아헤맸어

No one was there
내 곁엔 아무도 없었어
I promise you when you're lost, I will save you
네가 그렇게 된다면 내가 반드시 널 구해줄게
I wanna be the one to lead you through the dark
네 손을 잡고 어둠 속을 같이 걸어나갈게

I'll never leave you
널 결코 떠나지 않을거야

I promise you won't be alone (Alone, alone, alone, alone, alone, alone)
내가 너와 함께 있을거야

 를 생각해봅시다. 한번 생각해보세요. 이 문장은 언제나 참입니까, 언제나 거짓입니까, 아니면 둘 다 아닙니까? 그리고 우리가 그것들을 따질 때 어떤 식으로 위의 식을 이해하고 있습니까?

...

 우선 답을 적어봅시다. 답은 위의 문장을 참으로 만드는 해석도, 거짓으로 만드는 해석도 존재한다 입니다.

1. $\mathcal{I}=\{x\in\mathcal{N}| x\text{는 소수}\}$라고 합시다. 그리고, $a^\mathcal{I}=2$라고 하고, $O^\mathcal{I}=\{x\in\mathcal{I}| x\text{는 홀수}\}$라고 합시다. 즉, $O^\mathcal{I}$는 소수들 중에서 홀수들만 모아둔 것입니다. 그렇다면 위의 문장은 참이 될 겁니다. 왜냐면, '모든 $x$'에서 $x$의 범위는 소수들(2,3,5,...)이고, 따라서 해석은 '각각의 모든 소수 $x$에 대하여, $x$가 $2$가 아니면 $x$는 홀수이다'라는 의미가 될 것이기 때문이고 이는 수학적으로 참이기 때문입니다.

2. 만약 $\mathcal{I}=\mathbb{N}$이고, $a$에 대한 해석은 2, $O$에 대한 해석은 홀수들의 집합이라고 한다면 위의 문장은 거짓이 됩니다. 2가 아니더라도 홀수는 무한히 많으니까요..

 비슷한 방식으로 우리는 $\exists x(x\neq a)$ 또한 해석해볼 수 있습니다. 1번이든 2번이든 3은 2와 다르므로 참이 됩니다. 즉, $\mathcal{I}$에서 속하는 어떤 원소 $\alpha = 3$이 있어서 $\alpha\neq a^\mathcal{I}$가 참이 됩니다. 만약 우리가 해석의 원소가 하나밖에 없다고 한다면 거짓인 경우도 만들어낼 수 있습니다. 전체집합에 원소가 하나밖에 없으니까 $a$는 그 원소가 될 수밖에 없고, 그와 다른 원소가 또 존재한다고 위의 문장은 말하므로 거짓이 됩니다.

 우리는 1,2를 본받아서 문장의 참/거짓에 대한 정의를 내릴 것입니다. 사실 책마다, 학파마다 이에 대해 접근하는 방식이 다르지만 우린 복잡하게 가지 않고 바로 참/거짓에 대한 정의를 내리겠습니다. 우린 $\mathcal{I}$가 문장 $\alpha$을 참으로 만든다는 표현을 $\mathcal{I}\models\alpha$ 또는 $\models_\mathcal{I} \alpha$로 쓰고 이를 '$\alpha$는 $\mathcal{I}$ 하에서 만족가능하다(satisfiable)/참이다'라고 부르겠습니다. 이에 대한 정의는 다음과 같이 이루어집니다.

(i)$\alpha$가 원자문장일 때

 원자문장은 원자식 중에서 문장인 식을 뜻합니다. 원자식에서는 변항이 모두 자유롭게 나타나므로 원자문장은 변항이 없는 원자식을 뜻합니다. $\alpha =Pt_1t_2...t_n$인 원자문장이라고 할 때, $\mathcal{I}\models Pt_1...t_n$는 $(t_1^\mathcal{I}, ..., t_n^{\mathcal{I}})\in P^\mathcal{I}$로 정의합니다. 즉, 항들에 대한 해석의 쌍이 술어에 속할 때 원자문장이 참인 것으로 정의합니다.

 가령, 자연수체계 $\mathbb{N}$에서 $t_1=fab$, $t_2=gcd$라고 하고, $f^\mathbb{N}(x,y)=x+y$, $g^\mathbb{N}(x,y)=x\cdot y$라고 하고, $a^\mathbb{N}=2, b^\mathbb{N}=3, c^\mathbb{N}=3, d^\mathbb{N}=4$라고 합시다. 그리고 $P^\mathbb{N}=\{(m,n)|m\text{은 5의 배수}, n\text{는 12의 배수}\}$ 라고 합시다. 그러면 $Pt_1t_2$는 참입니다. 왜냐면 $t_1^\mathbb{N}=f^\mathbb{N}(a^\mathbb{N},b^\mathbb{N})=2+3=5$이고 비슷한 식으로 $t_2^\mathbb{N}=12$이고, $(5,12)$는 $P^\mathbb{N}$의 원소이기 때문입니다.

(ii)$\alpha = \neg\beta$라고 할 때, $\mathcal{I}\models\alpha$는 $\mathcal{I}\not\models\beta=\neg(\mathcal{I}\models\beta)$로 정의합니다. 즉, $\beta$가 거짓일 때 $\alpha$는 참이고, $\beta$가 참일 때 $\alpha$는 거짓으로 정의합니다.

(iii) $\wedge, \vee, \rightarrow$의 경우 모두 명제논리의 진리표에 해당했던 것처럼 똑같이 정의합니다. $\wedge$는 연결사에 의해 서술되는 대상이 모두 참일 때 참으로, 아닐 경우 거짓으로. $\vee$는 양 쪽 중에 하나가 참이면 참으로 정의하고, $\rightarrow$는 실질조건문의 정의에 따라, 전건이 참이고 후건이 참일 때만 거짓으로 정의하고 나머지는 모두 참으로 정의합니다. 같은 말로 전건이 참이거나 후건이 거짓일 때로 정의해도 좋습니다.

(iv) $\alpha= \exists x\beta$이고 $\alpha$가 문장인 경우는,
$\mathcal{I}\models\alpha \Longleftrightarrow\mathcal{I}\models\exists x\beta\Longleftrightarrow \text{어떤}a\in\mathcal{I}\text{에 대해},\quad\mathcal{I}\models\beta_{a'}^x$로 정의합니다.

 $\beta_{a'}^x$는 $\beta$에 나타나는 $x$ 중에서 자유롭게 나타나는 녀석들을 모두 $a'$로 대체시킨다는 말입니다. 이 때 $a'$는 $\mathcal{I}$에 속하는 원소 $a$를 표현하는 개체상항이라고 의미를 고정시킵니다. 즉, $a=(a')^\mathcal{I}$입니다.

 기호만 보면 무슨 소리인가 하실겁니다. 위에서 본 $\exists x(x\neq c)$ 사례를 가져옵시다. 해석을 $\mathcal{I}=\{2,3,4\}$로 생각하고 $c^\mathcal{I}=2$라고 합시다. 그러면, 이 문장이 이 해석 하에서 참인 이유는 '그 어떤 x'를 바로 3(이나 4)으로 했을 때 문장이 참이 되기 때문입니다. 그런데 해석집합의 원소 3은 우리가 다루는 논리기호 밖에 있는 수이기 때문에 문장 안에 직접 넣을 수 없습니다. 그러나 3은 해석집합의 원소, 개체이므로, 개체상항을 추가해서 그 개체상항에 대한 해석을 3으로 하면 될 겁니다. 즉, $a$ 개체상항을 추가해서 $a^\mathcal{I}=3$이라고 한다면, $\mathcal{I}\models a\neq c$ 즉, $a^\mathcal{I}\neq c^\mathcal{I}$이므로 원래 문장이 성립하게 됩니다.

 식이 복잡해보이지만 결국 존재양화사가 들어간 문장의 참/거짓을 다루는 우리의 직관을 기호로 표현한 것에 불과합니다.

(v)$\alpha=\forall x\beta$이고 $\alpha$가 문장인 경우는,
$\mathcal{I}\models\alpha\Longleftrightarrow\mathcal{I}\models\forall x\beta\Longleftrightarrow \text{각각의 모든}a\in\mathcal{I}\text{에 대해},\quad \mathcal{I}\models\beta_a'^x$가 성립한다 로 정의합니다.

 위에서와 마찬가지로, $a'$는 $a\in\mathcal{I}$에 대한 개체상항입니다.

 가령, $\mathbb{N}$이 해석이고, $P^\mathbb{N}$는 $m<n$인 $(m,n)$들의 집합이라고 하고, $c^\mathbb{N}=1$이라고 합시다. 그러면, $\mathbb{N}\models\forall x Pcx$는 $\mathbb{N}$에 속하는 각각의 모든 자연수 $n$에 대해 $\mathbb{N}\models (Pcx)_a^x$ 즉 $\mathbb{N}\models Pcn'$가 성립한다는 것입니다. 이는 각각의 자연수 $n$에 대해 $c^\mathbb{N}<n'^\mathbb{N}$가 성립한다 즉, $1<n$이 성립한다는 것입니다. 그러나 가장 작은 자연수를 $1$로 보면 이는 $1<1$이 되므로 모순입니다. 따라서 위의 식은 자연수 해석 하에서는 거짓입니다.

 라는 문장이 있다고 합시다. 위 문장은 그저 앞서 언급했던 식형성규칙에 의해 승인되는 글자들의 특수한 나열일 뿐입니다. 다만 우린 이런 형태의 문장을 이해하기 위해서 기호들에 의미를 부여하는 것일 뿐입니다. 논리학에서 '문장을 이해한다'는 것은 여러 가지 의미가 있지만 기초적으로는, 주어진 문장이 항상 참인지, 아니면 항상 거짓인지, 아니면 경우에 따라 참도 되고 거짓도 되기도 하는지를 논한다는 것입니다. 더 나아가면, 어떤 조건들이 부가적으로 주어지면 조건들 하에서 항상 참인지, 거짓인지를 따진다는 것입니다. 한 번 봅시다.

 1번 문장은 언제나 참인 문장입니다. '모든 x에 대해서 Px가 성립하면, 어떤 x에 대해 Px가 성립한다.' 모든 개체에 대해 성립하면 그를 구성하는 어떤 하나의 개체를 잡아도 성립하겠죠.

 2번 문장은 언제나 거짓인 문장입니다. 뒤에 보겠지만 우리는 동일성기호의 의미를 고정시킬 것이기 때문입니다. 그러나 자기자신과 같지 않은 대상이 존재한다는 것은 일상적인 의미에서도 모순이죠.

 3번 문장은 참이 되기도, 거짓이 되기도 하는 문장입니다. 가령 우리가 다루는 전체집합이 자연수라고 하고, Pxy를 x<y로 해석한다면, '자연수 집합에는 가장 큰 원소가 없다'로 이해할 수 있고, 이는 임의의 n에 대해 n+1을 대응시킴으로서 알 수 있습니다. 또한 정반대로 Pxy를 x>y로 해석한다면, 이는 '가장 작은 자연수는 없다'는 의미이고 거짓이 됩니다. 이렇듯, 해석에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 문장들이 존재합니다. 이런 문장들을 가려내기 위해서 우리는 해석이라는 개념을 도입해야 합니다.

 해석은 (3)에서 다루었던, 비논리상항들에 의미를 부여하는 도구라고 생각하시면 됩니다. 다만 일상언어에서 사용하는 단어들은 많은 경우 의미를 정확히 정해줄 수 없는 경우가 대다수이기 때문에 모든 것이 명확한 세계인 수학적 대상에 우리는 해석의 개념을 한정짓습니다. 물론 의미를 명확히 하기 위해 그렇게 한다는 것이지, 마음 속으로는 일상언어에서 가능한 해석을 부여해서 미리 이 문장이 항상 참인지, 항상 거짓인지, 그렇지 않은지 가늠해본 후 결론이 나면 수학적인 해석을 찾아보는 게 좋습니다. 그러나 익숙해지면 일상언어에 의지하지 않고도 수학적인 해석을 찾을 수 있게 됩니다. 이제 해석에 대해서 정의해봅시다.

 해석 $\mathcal{I}$는 ($\mathcal{U}, \mathcal{C^I}, \mathcal{F^I}, \mathcal{P^I}$) 네쌍으로 표현됩니다. 각각에 대해서 설명해봅시다.

(0) 우선 우리는 비논리상항과 그에 대한 해석을 구분해서 쓸 겁니다. 즉, $a$는 그 자체로 의미가 없고, 어떤 해석이 그에 대해 의미를 부여하여 나오게 되는 구체적인 개체값을 $a^{\mathcal{I}}$로 구분해서 쓸 겁니다. 가령 자연수집합에 관한 표준적인 해석을 생각하고 있다면 $a^{\mathcal{I}}=1$로 설정할 수 있습니다. 술어기호, 함수기호에 대해서 동일합니다.

(1) $\mathcal{U}$는 해석에서 사용될 전체집합, 해석집합(Universe)를 뜻합니다. 우주, universe는 세상의 모든 것입니다. 즉, for all x나 for every x, for any x에 대해서 가능한 모든 x들의 집합이라는 것입니다. 그러나 우리는 특정 체계 하의 모든 것(universe)를 다루고 싶기 때문에 물리적인 의미에서 우주..가 아니라 특정한 논의의 영역 하에서 우주를 이야기합니다. 또한 논의의 영역(domain of discourse)이라는 표현을 따서 $\mathcal{D}$라고도 씁니다. 그러나 많은 경우 $\mathcal{|I|}$로 표현할 때가 많고, 해석에 사용되는 전체집합과 해석 자체에 대한 기호를 크게 구분하지 않을 때가 많기 때문에 저도 $\mathcal{I}$로 표기할 것입니다.

 참고로 우리는 $\mathcal{I}$가 공집합이 아닐 것을 요구합니다. 해석집합의 원소는 반드시 하나 이상 있어야 합니다. 그렇지 않으면 수학적으로 귀찮은 일이 발생하기 때문입니다. 다른 논리학체계에서는 공집합을 허용하기도 합니다만 우린 공집합이 아니도록 정의합시다.

(1) 우선 $\mathcal{C}$를 개체상항들의 집합이라고 합시다. 가령 그 원소들이 $\{c,d\}$라고 한다면, $\mathcal{C^I}$는 $\{c^{\mathcal{I}}, d^{\mathcal{I}}\}$이고, $c^{\mathcal{I}}, d^{\mathcal{I}}$는 $\mathcal{I}$의 원소입니다. 즉, $\mathcal{C^I}$는 개체상항에 대한 $\mathcal{I}$ 하에서의 해석의 집합입니다.

(2) $\mathcal{F^I}$는 함수기호에 대한 해석들의 집합입니다. 가령 $f$이 $n$항 함수기호라면, $f^\mathcal{I}:(\mathcal{I}\times\mathcal{I}\times ...\times\mathcal{I})\longrightarrow\mathcal{I}$로 $f$를 해석합니다. 즉, $\mathcal{I}$의 $n$곱에서 $\mathcal{I}$로 가는 함수라는 것입니다. 수학기호가 나와서 당황스럽겠지만, 쉽게 표현하면 이렇습니다. 가령 자연수체계에서 $f$가 3항 함수기호라고 합시다, 그리고 우리는 이를 $f^{\mathcal{I}}(x,y,z)=(x+y)\cdot z$로 해석할 수 있을 겁니다. 즉, $f^\mathcal{I}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$이고 함수 값이 위처럼 정의되는거죠. 여기서 $\mathbb{N}$은 자연수집합입니다. 화살표 앞쪽이 정의역, 뒷쪽이 공역입니다. 기호는 어렵게 쓰여있지만 해석 하에서, 함수기호에다가 실제 함수를 대응시키는 것입니다.

(3) $\mathcal{P^I}$는 $\mathcal{I}$하에서 술어에 대한 해석들의 집합입니다. $P$가 $n$항 술어라면, 우리는 $P^\mathcal{I}$는 $\mathcal{I}$의 $n$항 곱의 부분집합이기만 하면 됩니다. 즉, $P^\mathcal{I}\subseteq\mathcal{I}\times ...\times{I}$이기만 하면 술어에 대한 해석요건을 만족합니다. 가령 자연수체계에서 2항 술어기호 $P$가 있다고 할 때 $P^\mathcal{I}$는 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$이어도 되고, 공집합이어도 되고, $P^\mathcal{I}=\{(n,m)|n\text{은 짝수}, m\text{은 홀수} \}$여도 됩니다.

 우린 등호도 논리학의 언어로 볼 것이므로, 이렇게 합시다. $=^\mathcal{I}$는 $\{(x,x)|x\in\mathcal{I}\}$로 합시다. 즉, $\mathcal{I}$ 하에서 수학적으로 등호가 성립하는 것들의 집합으로 봅니다.

 기호들이 너무 튀어나와서 힘드셨을 것으로 생각됩니다. 다음 시간에 쉽고 구체적인 예시들을 많이 보시면 이해가 되실 거라고 생각합니다.

 술어논리는 명제논리와 다르게, 문장만 있는 것이 아니라 식(formula)이 있고 식 중에 일부를 문장이라고 부릅니다. 이를 위해선 항, 원자식, (일반)식, 문장의 단계를 거쳐가야 합니다.

1. 항(term)

 '_는 소수이다'를 P_로 나타낸다고 할 때, 결국 언젠가 _에 들어가서 개체로서 의미를 지닐 수 있게 될 수 있는 가능성을 지닌 대상들을 항(term)이라고 부릅니다. 여기엔 개체상항, 변항, 그리고 두 개에 함수기호를 적용해서 만들어지는 (일반)항이 옵니다. 가령 a는 자연수 2를 가리킨다고 생각하면, Pa는 참인 문장이 되겠죠. Px에서 비록 x는 자리만 채워주는 역할만 하짐나 x에 어떤 수를 대입시켜 Pa 같이 만든다고 생각한다면 대입의 관점에서 x는 그 자체로는 아무 의미도 없지만 간접적으로 개체의 기능을 만든다고 볼 수도 있겠습니다. 그리고 만약 b가 3이라고 하고 fxy를 x+y로 생각한다면, Pfab는 5가 소수라는 의미를 지니게 될 것입니다. 또한 gxy를 x곱하기 y로 생각한다면, $Pg_{faafbb}$는  4x9=36이 소수라는 의미가 될겁니다. 함수는 여러번 적용하는 게 가능합니다.

 일반적으로 정의하면

(i)변항은 항이다
(ii)개체상항(individual constant = a, b, c, ...)은 항이다
(iii)f가 n항 함수기호이고, $t_1, t_2, ..., t_n$이 항이면, $f_{t_1 t_2 ... t_n}$도 항이다.

 입니다. 이 외의 규칙에 의해 만들어진 건 항이 아닙니다. 식이 복잡해 보이지만 결국 변항과 개체상항에 함수기호를 0번, 1번, 2번, ... 적용한 것들이 모두 항이라는 의미입니다. 위의 식에서 g(f(a,a),f(b,b))같이 왜 좀더 보기쉽게 쓰지 않느냐고 물으신다면 몇 가지 여기서 밝히기 어려운 수학적 이유가 있습니다만 크게 중요한 건 아니고, 관례적으로 이렇게 굳어졌기 때문에 이렇게 쓴다고 보시면 됩니다.

2. 원자식(atomic formula)

 원자식은 양화사나 논리적 연결사가 없이 항이 달려있는 술어기호의 형태를 뜻합니다. 위에서 Pa Pb, Pfab ... 등이 모두 원자식입니다. 엄밀하게는, $P$가 n항 술어기호이고, $t_1, ..., t_n$이 항이면 $P_{t_1 t_2 ... t_n}$은 원자식입니다. 보시는 책에 따라 다르긴 하지만 일반적으로 동일성기호(등호)=도 술어기호로 인정하기 때문에, t1 t2가 항일 때 t1=t2는 언제나 

원자식이 됩니다.

3. 식(formula)

 식은 원자식에 적합한 괄호삽입에 의한 논리적 연결사, 양화사의 작용으로 만들어지는 표현을 뜻합니다. 쉽게 말해, 원자식들에다가 not, and, or, ... 등과 for all, exists 등을 넣어서 만들어지는 식들을 의미합니다. 엄밀히 말하면,

(i)원자식은 식이다
(ii)A,B가 식이면, 명제논리의 문장생성규칙에 의해 만들어지는 식들은 모두 식이다.
즉, (~A), (A→B), (A∧B), (A∨B), (A↔B)는 모두 식이다.

(iii) x가 변항이고 A가 식일 때, ∀xA, ∃xA는 식이다.

 마지막으로 이 규칙을 따르지 않은 표현은 식이 아닙니다. 식은 Px나 Px→∃yFxy같이 변항이 아무런 제한 없이 남아있어서 참/거짓을 판별할 수 없는 식들이 있는가하면, ∀xPx와 ∀x(Px→∃yFxy)같이 변항을 양화하여 특정 해석 하에서 참/거짓을 가릴 수 있는 식들이 있습니다. 좀더 엄밀히 말하면, 전자는 '변항 x가 자유롭게 나타나는 식'이고 후자는 '변항 x가 자유롭게 나타나지 않는 식입니다. 자유롭게 나타난다는 것은 양화사에 의해 제한되지 않아서 아무 의미를 지니지 않은 채로 남아있다는 것입니다. 우리는 어떤 변항도 자유롭게 나타나지 않을 때, 즉 모든 변항이 양화사에 의해 속박되어 있을 때를 문장이라고 부릅니다. 식 중에 문장만은 참/거짓을 논할 수 있는 대상이 됩니다. 직관적으로는 각 술어에 의미를 대입해서 일상적인 의미를 파악한다고 할 때 미지수가 남아있어서 해석의 빈공간이 생기느냐 아니냐로 판단하시면 됩니다.

 좀더 엄밀하게는, 이렇게 정의합니다.

(i)원자식의 변항은 모두 자유롭게 나타난다

(ii)A가 식일 때, (~A)의 자유로운 변항의 집합은 A의 자유로운 변항의 집합과 같다
(iii)A,B가 식일 때, (A→B), (A∧B), (A∨B), (A↔B)의 자유로운 변항은 A의 자유로운 변항들의 집합과 B의 자유로운 변항들의 집합을 합집합한 것이다

(iv)A가 식일 때 ∀xA, ∃xA의 자유로운 변항들의 집합은 A의 자유로운 변항들의 집합에서 x를 뺀 것이다.

(v)A가 식일 때, A에 자유로운 변항이 없으면, 즉 자유로운 변항의 집합이 공집합일 때 A를 문장이라고 정의한다.

 의미는 위에서 말한 것과 같습니다. Pt1...tn 형태에서는 양화사가 없기 때문에 변항이 있어도 양화사에 의해 속박되지 않으므로 모든 변항이 자유롭습니다. 그러나 변항이 없는 경우는 자유로운 변항도 없게 되니까 문장이 됩니다. 즉, Pa Pb는 문장이고 Fay에서 y가 자유롭기 때문에 Fay는 문장이 아닌 식입니다.

 논리적 연결사는 양화사를 더하는 것이 아니기 때문에 연결사에 의해 자유로운 변항이 변동되는 경우가 없고 따라서 연결되는 식들의 자유변항들을 그저 다 더하면 됩니다. 특정 변항에 대해 양화사가 비로소 추가되면 자유로웠던 변항이 속박되게 되겠죠. 

 다음 시간엔 해석에 대해서 살펴봅시다.

연주곡입니다.

 전체집합이 자연수라고 합시다. 그리고 fy를 y+1로 해석합시다. 그렇다면 위의 식은
'모든 자연수는 1이거나 자신보다 작은 어떤 수의 다음수이다. 또한 모든 자연수보다 더 큰 자연수는 없다. 마지막으로 두 자연수는 항상 서로 같거나 둘 중 하나가 크다'을 기호로 표현한 것에 불과합니다. 여기에 쓰인 기호들은 크기에 관한 술어기호 <와 더하기 1의 값을 내놓는 함수기호 f, 가장 작은 자연수를 표현하는 기호 1, 그리고 존재양화사(∃)와 보편양화사(∀), 그리고 명제논리에서도 사용한 연결사들입니다. 물론 쌍조건문 기호↔를 사용하지 않았습니다만 그것만 빼면 괄호를 포함한 모든 기호를 사용했습니다. 이것들이 술어논리에서 쓰일 수 있는 기호들의 사실 상의 총합입니다.

 잘 관찰하시면, 문자들만 보았을 때 의미가 고정된 부분과 고정되지 않은 부분이 있습니다. 사실 1, <, f 같은 기호는 우리가 해석하는 바에 따라 의미가 달라질 수 있습니다. 우리가 전체집합을 자연수라고 놓고, 또한 기호 1, <, f를 실제 자연수체계에서 사용되는 가장 작은 자연수, 대소관계, 다음수를 내놓는 함수로 해석했을 뿐입니다. 꼭 그렇게 해석해야 할 의무는 없죠. 해석을 다르게 한다면, 위의 문장은 자연수체계에서 참이 될 수도 거짓이 될 수도 있을겁니다.

 그런데, 또한 의미가 해석에 의해 변화되지 않는 부분도 있습니다. 가령 '∨ ∧ ￢ →'같이 이미 존재하는 문장들에 고정된 의미를 부여하는 연결사(또는, 그리고, 아니다, ~라면~이다   는 그 안에 연결되는 문장들이 무엇이든지 항상 같은 기능을 합니다)가 있겠죠. 또한 변항들 x,y,z, ... 등은 가령 x=y에서처럼 그저 미지수로서 그 자체로는 자리만 채워주고 아무 의미도 지니지 않습니다. 양화사에 의해 제어되지 않는 이상 의미가 결여되어있죠. 양화사는 항상 같은 기능을 합니다. 주어진 전체집합의 모든 원소들에 대해 문장이 성립한다와 주어진 문장이 성립하게 하는 전체집합의 원소가 존재한다  는 고정된 의미로 쓰입니다.

 따라서 술어논리의 기호는 의미가 항상 고정된 부분과 그렇지 않은 부분으로 나눌 수 있습니다. 정리하면 다음과 같습니다.

 술어논리의 기호는 다음으로 구성됩니다.

(i)논리상항(logcal constants/logical symbol)
(ㄱ)논리적 연결사 : $\neg$, $\wedge$, $\vee$, $\rightarrow$, $\leftrightarrow$
(ㄴ)양화사 : $\forall$, $\exists$
(ㄷ)변항기호 : $x,y,z, ...$
(ㄹ)괄호 : $(, )$

  수를 다루는 분야에서는 constant를 상수라고 번역합니다. 논리학에서는 좀더 일반적인 용어로 상항이라고 부릅니다. 언제나 동일한 항목이라는 뜻입니다. 논리상항은 논리적으로 언제나 동일한 항목이라는 뜻이고, 언제나 의미가 고정되어있는 기호들을 뜻합니다.

(ㄱ)논리적 연결사는 명제논리의 연결사들입니다. 설명을 덧붙이자면, 부정기호를 제외하고는 모두 두 문장을 연결해주기 때문에 연결사라는 표현이 적합한데, 부정기호는 한 문장에 대해서만 적용됩니다. 따라서 부정기호는 연결사가 아니지 않느냐..는 대답에 대해 논리학자들은 나머지 연결사들은 2항 연결사이고, 부정기호들은 1항 연결사일 뿐이다라고 대답합니다. 일상적인 의미의 연결사라는 단어의 의미를 생각해보았을 때 썩 시원치 않은 대답이기는 하지만, 명제논리의 문장생성규칙에 관해서 특별히 부정기호가 다른 기호들과 달리 취급될 이유는 없으므로 기능상 같이 본다고 생각하시면 편할 것 같습니다..
(ㄷ) 실제적인 정의에서는 $v_0, v_1, ...$으로 명확히 변항기호들을 정의하고 이 변항들에 대해 메타적으로, 임의의 변항에 대해 지시하고 싶을 때 x, y, z 등을 씁니다만 교양수준에서는 굳이 이걸 구분할 필요는 없으므로 크게 생각하지 않으셔도 됩니다.

(ㄹ) 괄호를 논리기호로 보아야하는가.. 는 문제가 있지만 기호들의 의미를 정확히 획정하기 위해서 쓰이기 때문에, 그리고 항상 같은 방식으로 문자의 구획을 정해준다는 점에서 논리상항이라고 볼 수 있겠습니다. 많은 경우 편의상 생략이 가장 많이 일어나는 기호이기도 합니다.

(ii)비논리상항(non-logical constants/non-logical symbol)
(ㄱ)개체상항기호 : a,b,c, ...
(ㄴ)술어논리기호 : P,Q,R, ...
(ㄷ)함수기호 : f, g, h, ...

 비논리상항이라는 표현은 보기에 따라 좀 그렇습니다. 적어도 수학에서는 상항은 의미가 변하지 않는 개체를 표현하는데, 상항은 변항(variable)의 반댓말이고 그러면 상항이라는 표현 자체의 의미로 보면 논리상항에 변항이 있기 때문에 개념상 모순이 있게 보입니다. 또한 비논리상항이면, 논리상항이 아닌 의미가 고정된 기호라고 보아야 하는데, (ㄱ)-(ㄷ)는 해석에 의미가 의존하기 때문에 비논리상항이라는 표현은 좀 어색한 느낌이 있습니다. 그래서 철학분과에서 논리학을 전개하지 않는 이상 logical symbol과 non-logical symbol이라는 표현을 씁니다. 그러나 한국에서 이미 논리상항과 비논리상항으로 번역되었기 때문에 편의상 그렇게 부르도록 합시다.

(물론 다른 측면으로 정당화를 고려해볼 수도 있습니다. 결국 비논리상항은 미지수가 아니기 때문에 실제적인 사용에서는 어떤 고정된 대상을 가리키게 되므로, 해석에 의해서 의미가 고정되는 상항이라고 보시면 납득이 가실 수도 있습니다)

*위가 가장 기본적인 술어논리의 기호구성입니다. 교양수준에서, 혹은 철학과 전공수준에서는 함수기호가 포함되지 않을 수 있습니다. 수학적인 전통에서는 위의 구성에 동일성기호=를 논리상항으로 넣습니다. 별말이 없는 이상 우리는 =를 논리상항에 포함하겠습니다.

 위에 관해서 좀더 정확히 서술하자면 위의 기호들로 만들어질 수 있는 술어논리의 언어는 다양합니다. 이게 무슨 말이냐면, 위의 기호들은 술어논리의 언어에 사용할 수 있는 기호라는 의미만을 지닌다는 것입니다. 술어논리에서는 분석하는 체계들이 많고, 그 체계마다 사용하는 언어가 다르기 때문에 위에서는 가능한 기호들의 총합만 나열한 것입니다. 그러나, 논리상항은 어떤 언어에나 반드시 있는 것으로 정의합니다. 비논리상항은 언어에 따라 달리 사용하거나 전혀 없어도 됩니다.

 가령 자연수체계는 0, +, x(곱셈), <으로 이루어져있습니다. 개체상항 0과, 함수기호 두 개, 그리고 술어기호 한 개가 있습니다. 그런데 자연수체계를 좀더 축소해서 크기비교만을 하고싶다면 0, +, x를 빼고 <만 사용하는 언어를 구성할 수도 있습니다. 이 말은 아직까지 잘 이해가 가지 않으실 수 있을겁니다만 술어논리(5)까지 읽으시면 이해가 되실겁니다.

 다음 시간에는 술어논리의 문장규칙을 만드는 법에 대해서 살펴봅시다.

 이를 기호 논리로 나타내봅시다.

1. Hx를 'x는 사람이다'로 생각하고, s를 소크라테스라고 하면 1과 같이 됩니다.

2. Hx를 'x는 사람이다', Ax를 'x는 동물이다'로 한다면, '사람은 동물이다'는 사람에 속하는 모든 개체는 동물에도 속한다는 것으로, '모든 x에 대하여, x가 사람이면 x는 동물이다'로 쓸 수 있으므로 2와 같이 됩니다.

3. 우리의 논의의 영역, 즉 '모든'에 대응하는 집합이 사람이라고 합시다. 그리고 Fyx를 y는 x의 아버지(y is a father of x)라고 한다면, '모든 x에 대하여 F와 yx관계를 맺는 y가 존재한다' 더 쉽게는 '모든 x에 대하여, 어떤 y가 있어서 Fyx이다'로 쓸 수 있습니다. 이를 3으로 씁니다.

 여기서 헷갈리실 수 있는데, ∀x는 for all x, for every x, for any x의 번역어입니다. 실제적인 의미에서는 가령 Px를 x는 소수라고 하고, x에 해당할 수 있는 값들이 자연수라고 합시다. 그러면 ∀xPx는, 이미 전체집합 혹은 논의의 영역(universe이라 부름)에서 '모든 x에 대하여 Px이다'라는 말입니다. 더 정확히는, 전체집합에 속하는 모든 원소를 다 나열한다고 했을 때 그 각각에 원소들에 대하여 술어가 성립한다는 말입니다. 자연수를 1,2,3,4,5...라고 한다면 ∀xPx는 P1, P2, P3, P4, ...이 모두 성립한다는 의미입니다.

 일반적으로 말하면 ∀x(∃y(Fyx))의 경우는, 전체집합이 {a,b}라면 ∃y(Fya), ∃y(Fyb)가 성립한다는 말입니다. 이제 ∃y(Fya) '전체집합에 속하는 원소인 어떤 y가 있어서 Fya가 성립한다'는 의미가 되므로 쉽게 판별할 수 있겠죠.

4. Px를 x는 대한민국 19대 대통령이라고 합시다. 대한민국 국민이라고 합시다. 유일하게 하나 있어야 하므로, 최소 하나 있고 그 이상 없다고 해야 합니다. 이를 표현하는 데는 두 가지 방식이 있습니다. 가령 Pa가 맞다면 a와 다른 어떤 b가 있어서 Pb이면 안 되겠죠. 혹은 어떤 임의의 b가 있는데 b가 Pb라면 유일하기 때문에 b는 a가 되어야겠죠.

 이를 표현하면, 전자는 ∃x(Px ∧￢∃y(x≠y∧Py)) 그리고 후자는 ∃x(Px ∧∀y(Py→y=x))가 됩니다.

5. Hx를 'x는 히키대학교 학생이다'라고 봅시다. 만약 우리가 술어논리의 언어에 등호=를 허용한다고 해봅시다. 등호는 서술되는 두 대상이 동일하다는 성질을 나타냅니다. 보통 술어논리에서는 술어 뒤에 개체기호를 사용하기 때문에 엄밀하게는 =xy라고 써야하지만 현실적으로 x=y로 쓰기 때문에 편의상 x=y로 씁시다. 그러면 x=y의 부정인 ~(x=y)를 x≠y로 편의상 쓰기로 할 수 있습니다. 그렇다면, 우리는 '최소한 두 개가 있다'는 말을 쓸 수 있습니다. x,y가 존재하고 두 개가 같지 않다고 쓰면 됩니다. 가령 ∃x∃y(x≠y)라고 쓰면 되겠죠. 여기서 중요한 건, 서로 다른 두 대상이 있다는 것만 알 수 있고 정확히 몇 개 인지는 알 수 없다는 점입니다. 그래서 최소한 두 대상입니다. 최소한 두 대상이 존재하고, 그 대상들이 어떤 술어를 만족한다면(즉 술어에 속한다면) 술어에 속하는 서로 다른 두 대상이 있게 되겠죠. 따라서 ∃x∃y(x≠y∧Hx∧Hy)라고 쓴다면 전체집합이 사람일 때 '어떤 x,y가 있어서 x,y는 다르고 H를 만족한다' 즉 '서로 다른 두 사람이 히키대학교 학생이다'가 됩니다.

 이를 확장하면 임의의 서로 다른 대상 n개가 존재하고, 그 대상들이 술어를 만족한다고도 쓸 수 있습니다. 가령 서로 다른 4개의 대상이 있다고 한다면, x1,x2, x3, x4를 4개 중에서 서로 다르게 2개씩 뽑아서 서로 같지 않다고 표현하면 됩니다. 그래서 서로 다른 n개의 대상이 존재하고 그 대상들이 H를 만족한다는 표현은,

$\exists x_1\exists x_2 ...\exists x_n (\wedge_{i\neq j} x_i \neq x_j \wedge_{k=1...k=n} Hx_k)$ 입니다.

 식이 복잡한데, 의미는 간단합니다. $\wedge$를 하나하나 쓰기 어렵기 때문에 편의상 위와 같이 i와 j가 다른 모든 경우에 대하여 $\wedge$를 쓴다고 줄여씁니다. 서로 다른 i,j를 모두 뽑아서 xi와 xj가 다르다고 하는 겁니다. 뒷부분 역시 Hx1와 Hx2... Hxn을 모두 동시에 쓰기가 불편하기 때문에 줄여쓰는 표현입니다. 어쨌든 이렇게 표현할 수 있습니다. H술어 부분만 빼면 서로 다른 n개가 존재한다는 표현이 됩니다. 그래서 존재양화사(∃)와 등호와 부정기호만 있으면 '최소 n개이다'라는 수량화를 할 수 있습니다.

6. 6은 4와 5의 변형입니다. 딱 두명있다면 서로 다른 x,y가 있어야 하고, x,y가 각각 H를 만족하고 또한 x,y와 다르면서 H를 만족하는 z가 없거나   아니면 임의의 z가 있어서 z가 H를 만족하면 유일하게 두 개 이므로 z는 반드시 x나 y와 같아야 겠죠. 후자를 표현한 게 6번 식입니다.

 이를 응용하면 서로 다른 정확히 n개만 있다, 그리고 그 대상들이 술어를 만족한다는 표현을 쓸 수 있습니다. 전자에 대해서는 "x1, x2, ..., xn까지 대상이 있고 그들이 서로 다르고, x1 ...xn과 다른 y가 없다   혹은 다른 표현으로 임의의 y에 대하여 y는 x1이거나 x2이거나...xn로 쓸 수 있습니다. 식으로 쓰면
$\exists x_1\exists x_2 ...\exists x_n (\wedge_{i\neq j} x_i\neq x_j \wedge \neq\exists y(y\neq x_1 \wedge ...\wedge y\neq x_n))$나 $\exists x_1\exists x_2 ...\exists x_n (\wedge_{i\neq j} x_i\neq x_j \wedge \forall y(y=x_1 \vee ...\vee y=x_n)$입니다.

 술어를 만족하는 대상이 정확히 n개 있다는 표현은 '최소한 n개의 서로 다른 대상들이 있고, 만약 어떤 대상이 H를 만족한다면 그 대상은 x1 , ...,  xn 중에 하나이다'로 쓸 수 있고, 이는

$\exists x_1\exists x_2 ...\exists x_n (\wedge_{i\neq j} x_i\neq x_j \wedge_{k=1...k=n} H_k \wedge \forall y(Hy\rightarrow (y=x_1 \vee ...\vee y=x_n))$로 쓸 수 있습니다.

 너무 어려웠죠? 이제 좀더 중요하고 쉬운 사례를 봅시다.

 전체집합이 실수라고 합시다. 그리고 개체 0을 우리의 언어에 포함한다고 합시다. 그러면, 다음과 같습니다.

1. 명확하죠. 그런데 명심할 것은 술어논리에서는 개체는 반드시 술어뒤에 온다는 점입니다. <는 x,y에 대한 특정한 서술을 해주는 술어이므로 <xy라고 해야 합니다. 그러나 x<y가 관례이므로 허용해주는 것뿐입니다. 또한, 0<x라고 썼지만 편의상 x를 앞에 두기 위해 x>0라고 자주 씁니다.

2. 이 부분이 가장 중요합니다. 지금까지 우리는 개체에 관한 기호, 술어에 관한 기호, 변항(=variable), 그리고 and or if then 등 논리적 연결사들을 사용해서 언어를 분석했습니다. 그런데 +는 여기 어디에도 해당하지 않습니다. +는 함수기호죠. 사실 술어논리는 역사적으로 일상언어가 아니라 수학을 분석하기 위해 발달했기 때문에 우리는 함수기호를 술어논리의 언어에 포함시켜야 합니다. 사실 함수를 술어의 일종으로 표현할 수 있기는 한데, 함수를 수학의 근본적인 개념으로 이해하는 사람들도 있고, 술어의 일종으로 정의할 경우 논리학을 수학적으로 연구하는 수리논리학에서는 증명 등이 복잡해지기 때문에 함수기호와 술어기호를 분리해서 봅니다. 함수로 원래 변수가 하나면 f(x), 둘이면 f(x,y) 이렇게 쓰기 때문에 x+z는 +(x,z)나 +xz의 줄임말이라고 보시는 게 맞습니다. 술어논리에서는 +xz표현을 씁니다. 따라서 x+z<y+z를 엄밀히 쓰면 <+xz+yz가 됩니다. 그러나 관례상 이렇게 적지 않을 뿐입니다. 

3. $\cdot(x,y)=\cdot xy =x\cdot y$입니다.

 다음 시간엔 술어논리의 언어에 살펴봅시다.