명제논리의 기초(2')ㅡ진리표를 그리는 방법

 

 

진리표에 대해서 설명이 좀 부족한 것 같아서 좀더 구체적으로 설명해봅니다.

 

제가 예전에 설명했던 대로 명제의 개수(p,q,r,s 등)가 n개이면 진리표의 줄(row)의 개수는 2^n개가 만들어집니다. 이를 좀더 구체적으로 말해보고자 합니다.

 

 p만 있으면 진리표는

 

p

T

F

 의 형식으로 만들어집니다.

 

 

p와 q가 있으면,

 

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

의 형식이 됩니다.

 

p,q,r이 있으면

 

 

p	q	r
T	T	T
T	T	F
T	F	T
T	F	F
F	T	T
F	T	F
F	F	T
F	F	F

 

 

p,q,r,s가 있으면

 

p	q	r	s
T	T	T	T
T	T	T	F
T	T	F	T
T	T	F	F
T	F	T	T
T	F	T	F
T	F	F	T
T	F	F	F
F	T	T	T
F	T	T	F
F	T	F	T
F	T	F	F
F	F	T	T
F	F	T	F
F	F	F	T
F	F	F	F

 

규칙 눈치채셨나요?

 

모든 명제의 진리치를 각각 T/F로 설정하되, 겹치지 않도록 만들어야 합니다. 즉, pqrs이면 (TTTT)와 (TTTT)가 같은 진리표에 등장하면 안 된다는 것이죠. pqrs 전체 진리값이 겹치지 않도록 만들어야 합니다.

 

 이를 위해서 이런 규칙으로 진리표를 만듭니다.

 

명제의 개수가 2개ㅡp와 qㅡ일 때는 나오는 진리값의 줄의 4개죠(원래의 용어로는 각각의 row를 진리값으로 구성되는 '가능세계'라고 부릅니다). 진리값들이 각각 겹치지 않기 위해서 먼저 처음의 명제 가령 p를 가능세계의 절반인 2개를 먼저 T로 만듭니다. 나머지 두개는 F로 만들구요. 그리고 q는 T, F, T, F식으로 순차적으로 적어넣으면 진리치의 가능세계는 서로 겹치지 않게 됩니다.

 

 

명제의 개수가 3개일 때는 어떨까요?

 

p,q,r명제가 순차적으로 주어졌다고 합시다. 가능세계는 2^3 = 8개가 만들어지겠죠. 그러면 먼저 p의 진리치를 순서대로 TTTT FFFF로 만듭니다. 즉, 절반은 T로 절반은 F로 순차적으로 만들면 됩니다. q는 다시 p의 TTTT에 대해서 각각 TTFF로, FFFF에 대해서도 TTFF로 만듭니다. r은 TFTFTFTF로 만들면 되구요.

 

p,q,r,s일 때도 같습니다. 가능세계의 수는 16개이겠죠. 먼저 p의 진리치를 앞에서부터 8개를 T로 뒤에 8개를 F로 만듭니다. 그리고 q는 p가 T인 8개에 대해서 다시 순차적으로 절반을 T로 절반을 F로 만듭니다. r은 다시 절반으로 TTFF를 반복하구요, s는 TF를 계속 반복하면 됩니다.

 

 

일반화하면, n개의 명제 p1 p2 p3 ~ pn이 주어져 있다고 합시다. 가능세계의 수는 2^n이죠.

 

그럼 p1은 순차적으로 2^n/2의 개수만큼 T를 나머지 2^n/2는 F를 넣습니다. p2는 2^n/4의 개수만큼 앞에서부터 T를, 다시 2^n/4만큼 F를, 그 다음에 똑같이 2^n/4만큼 T를, 2^n/4만큼 F를 넣습니다. 같은 방식으로 pn까지 구성할 수 있고, pn은 TFTFTFTF~~의 형식이 되겠습니다.

 

 

가령, p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)임을 보이도록 합시다.

 

 

p	q	r	q∨r	(p∧q)	(p∧r)	p∧(q∨r)	(p∧q)∨(p∧r)
T	T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	T	F	T	T
T	F	T	T	F	T	T	T
T	F	F	F	F	F	F	F
F	T	T	T	F	F	F	F
F	T	F	T	F	F	F	F
F	F	T	T	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

 

 

p∧(q∨r)와 (p∧q)∨(p∧r)의 진리값이 모든 가능세계에서 동일하죠? 따라서 p∧(q∨r) ≡ (p∧q)∨(p∧r)입니다.

 

이런 식으로 복합명제의 진리치를 판별할 수 있습니다.

 

(*다른 명제들에 대한 진리표가 필요하실 경우 댓글을 달아주세요!)