명제논리의 기초(3) - tautology, contradiction

 

명제논리에서 항상 참인 명제들을 'tautology'라고 부르고, 항상 거짓인 경우를 'contradiction'이라고 부릅니다. 한글로는 항진명제, 항위명제라고 하더군요. 근데, 한글보다는 원어를 쓰기를 권장합니다. 의미가 손실되고 명확하지 않게 되거든요(번역자마다 다르게 번역하는 문제도 있습니다).

 

 

항상 참인 명제 tautology의 대표적인 사례는 다음과 같습니다.

 

 

 

p	~p	p ∨~p
T	F	T
F	T	T

 

 

 

위의 진리표를 살펴보면 p ∨~p의 진리값은 모든 경우에 T가 됩니다. 즉 다시말해서 p ∨~p는 tautology입니다.

 

(p∨q의 진리표를 참조했습니다. 명제논리의 기초(2)를 참조하세요)

 

논리학의 3대 원칙인 동일률 모순율 배중률 중에서 위의 명제는 '배중률'에 해당됩니다. 즉, 모든 명제는 p이거나 ~p라는 것이죠.

 

이에 반하여 모든 경우에 F를 진리값으로 가지는 명제, 즉 contradiction의 대표적인 사례는 다음과 같습니다.

 

 

p	~p	p∧~p
T	F	F
F	T	F

 

 

p∧q가 참이 되는 경우는 p,q의 진리값이 (T,T)일 때만 이었죠. 위의 진리표는 (T,F)와 (F,T)밖에 산출할 수 없기 때문에, p∧~p는 모든 경우에 F를 진리값으로 가지게 됩니다.

 

따라서 p∧~p는 contradiction입니다.

 

 

tautology 중에서 '조건문'에 대해서 tautology를 만족하는 것들을 implication이라고 부릅니다.

 

즉, p→q가 항상 참일 경우 'p implies q'라고 표현하고, 기호로는 'p⇒q'로 표현합니다.

 

하나의 사례를 살펴 봅시다.

 

 

p	p→p
T	T
F	T

 

 

p가 T이면 p→p는 당연하게도 참이고, p가 F이면 p→p는 vacuous truth에 의해서 참이 됩니다. 따라서 모든 경우에 p→p가 성립하므로, p⇒p이고, 'p implies p'라고 표현할 수 있습니다.

 

 

더 나아가서, p↔q(≡^[각주:1]p→q ∧q→p)가 tautology라면, p⇔q라고 표현합니다.

 

≡기호와 ⇔기호는 의미는 서로 다르지만, 구별없이 사용해도 상관없습니다.

p≡q이면 p⇔q이고, p⇔q이면 p≡q이기 때문입니다.

 

이에 대한 아주 간단한 예제는 다음과 같습니다.

 

 

p	q	p∧q	q∧p	p∧q→q∧p	q∧p→p∧q	(p∧q→q∧p)∧ (q∧p→p∧q)             (≡p∧q↔q∧p)
T	T	T	T	T	T	T
T	F	F	F	T	T	T
F	T	F	F	T	T	T
F	F	F	F	T	T	T

 

 

위의 진리표에 의해서 p∧q↔q∧p는 모든 경우에 T임이 밝혀 졌음으로 p∧q↔q∧p는 tautology이고, 따라서

 p∧q ⇔ q∧p입니다. 동시에, p∧q와 q∧p의 진리값은 모든 가능한 경우의 수에서 같으므로 p∧q ≡ p∧q입니다.

 

 

1. ≡라는 기호는 '논리적 동치'를 나타냅니다. 정확히 말하면, p≡q는 p와 q의 진리값이 모든 경우에 같다는 의미입니다. [본문으로]