논리적 귀결(logical consequence) (2)

타르스키의 논리적 귀결에 대한 분석이 타당한지에 대해서 다음과 같은 비판들이 존재합니다.

1. 일차논리에서 분석할 수 없는 논리적으로 타당한 형식들이 존재한다

 타르스키는 논리적 귀결의 문제는 논리적 형식의 문제라고 보았습니다만 논리적으로 타당하지만 타르스키의 이해로는 일차논리의 형식으로는 분석할 수 없는 논증들이 존재합니다. 가령
 X is redㅑX is not blue
X is roundㅑX is not square
A is placed at north of B ㅑ B is placed at south of A
는 전제들이 참인 모든 경우에 결론이 참이므로 타당하다고 여겨지지만 일차논리의 형식으로는 분석되지 않습니다. 논리적 형식이 아니라 말의 의미에 의해 타당한 형식들입니다.

2.  ω-rule의 배제

 일차논리학에서 논리적 귀결관계는 compact합니다. 여러 동치인 조건들이 있긴하지만 말하자면 문장들의 집합 Γ과 어떤 문장 A가 있을 때 ΓㅑA(A는 Γ에 속한 문장들의 귀결이다)이면 Γ의 유한한 부분집합 Γ_0가 있어서 Γ_0ㅑA가 된다는 것입니다. 즉, 일차논리학 구조에서 어떤 명제든 유한한 명제/문장들의 집합에 의해서 함축될 수 있습니다만 그렇다면 이런 의문이 생깁니다. 유한한 문장에 의해서는 함축되지 않고 무한한 문장들의 집합에 의해서만 함축되는 문장이란 있을 수 없는가? 이때 제시되는 게 ω-rule입니다

 ω는 집합론에서 자연수 집합을 나타내는 기호 중에 하나입니다. 자연수는 0과 더하기 1에 닫혀있는 가장 작은 집합입니다. 그래서 자연수 체계에서 우리는 이런 논증을 제기할 수 있습니다. 어떤 술어 A가 있다고 할 때 우리는
A(0), A(1), ..., A(n), ...
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∀xAx
 라고 기대합니다(유한한 문장들로 함축할 수 없을 때 위와 같은 구조를 ω-rule이라고 부릅니다). 왜냐면 각각의 자연수가 A의 성질을 만족하면 모든 자연수에서 그럴거라고 생각하기 때문입니다. 만약 저런 논증이 가능하다면 일차논리학에서는 compactness가 성립하기 때문에 유한한 자연수를 잡아서
A(i_0), ... ,A(i_n)ㅑ∀xAx를 만들 수 있습니다. 즉, 무한한 문장들의 집합에 의해서만 함축할 수 있는 자연수체계의 문장이란 존재할 수 없습니다. 가령 모든 자연수 n에 대해서 4n+1은 홀수이다는 명제를 증명하려면 보통 귀납법을 통해서 모든 자연수가 그러함을 증명해야하지만, 일차논리에서는 유한한 자연수들만 보이면 그렇다는 것을 보일 수 있게 됩니다. 이는 일상적으로 우리가 기대하는 사고방식이 아니죠. 이건 왜 그렇게 되냐면, 일차논리에서는 반드시 우리가 기대하는 어떤 표준적인 모형만이 존재하지 않기 때문에 그렇습니다. 자연수공리계 PA를 만족하는 모형이 여러 개가 있고 표준적인 자연수체계와는 구조가 전혀 다른 모형들이 존재합니다. 일차논리에서는 그런 모형들을 통제할 수 없기 때문에 자연수에 관한 ω-rule은 성립하지 않습니다.

3. 일차논리의 논리적 귀결관계는 전제들과 결론들 사이에 연관성이 없음에도 귀결이라고 부를 수 있는 사례들을 논리적 귀결으로 인정한다

 이는 뒤에서 material implication(실질조건문 →에 관한 진리값 정의를 다룸)을 다루면서 자세히 볼 겁니다만 가령 일차논리학에서는 ~A&AㅑB는 항상 성립합니다. 논리적 형식에서는 이는 이렇게 증명됩니다.
1.A&~A   전제
2. A         1에 연언제거규칙
3. A v B    2에 선언도입규칙
4. ~A       1에 연언제거규칙
5. B         3,4 선언제거규칙

 전제가 논리적 모순이면 결론에 무엇이 나오든지 항상 그 논증은 논리적으로 타당합니다. 말하자면 A와 ~A와는 관련없는 어떤 명제 B도 위의 도식에 나타날 수 있습니다. 어떤 문장이 어떤 문장들의 귀결이라고 말할 때는 보통 주어진 문장들과 관련있는 규칙들과 문장들만을 사용하여 어떤 문장을 이끌어낼 수 있다는 것을 말합니다. 그래서 B가 A나 ~A와 관련이 없는 문장이라면 저런 형식은 매우 어색하게 느껴집니다. 가령 1+1=2와 1+1≠2로부터 원은 둥글다는 명제를 귀결시킬 수 있습니다만, 전제들과 결론이 전혀 연관이 없어 보이기 때문에 논리적으로 함축되는가가 매우 의문시됩니다. 그렇다면 위에 제시된 논증에 사용된 추론규칙이 일상적 맥락을 반영하지 못한다는 것인데, 이때 B를 도입하는 규칙은 선언도입규칙입니다. 즉, A가 있으면 언제든지 A v B를 주장할 수 있다는 것입니다. A와 연관이 없는 B가 언제든지 등장할 수 있기 때문에 일차논리의 이런 문제점을 보안하려고 하는 사람들은 A와 B가 원자문장들을 공유할 때만 선언도입을 할 수 있다는 생각(과 여러 일차논리의 문제를 보안하려)으로 relevant logic이라는 걸 만들었습니다.