비표준 해석학(nonstandard analysis)

1차술어논리의 여러 정리에 의해서 실수계 R을 포함하는 초실수계 *R을 구성할 수 있다. 재밌게도 초실수계에서 참인 1차술어논리의 모든 문장은 실수계에서도 참이고, 역 또한 성립한다. 쉽게 말하면 비표준 해석학으로 R에 관한 정리를 내놓으면 표준적인 해석학에서도 참이라는 것이다.
대학 1학년의 이공계생이라면 미적분학 첫수업에 엡실론-델타 방식으로 연속성을 정의하는 걸 보게 된다. 이는 해석학 초기의 라이프니치 등의 무한소라는 개념이 엄밀하게 정의되지 않았기 때문에 등장한 것이다. 그러나 비표준적 해석학의 등장 이후, 초실수계는 무한소를 수로서 포함하기 때문에 종전의 표기를 사용해도 무리가 없게 되었다(입실론 델타 정의와 초실수계의 무한소를 이용한 연속성 정의는 서로 동치).

한국에서 비표준 해석학을 배울 기회는 없으니 각자 공부해야한다. 외국의 주 교재들은 구글에 nonstandard-analysis-book-recommendation 라고 치면 맨 위에 나오는 mathflow 사이트에 소개되어 있다.


초실수계는 1차술어논리하면서 subsection으로 소개된 걸로 접했는데, 흥미로운 분야다. 시간이 나면 비표준 해석학도 공부해보고 싶다.