조건문(1) - 실질조건문의 정의에 대한 정당화

일차논리학에서는 만약 ...이면 ...이다 혹은 if ..., then ...이라는 문장의 진리치를 기호 '→' 에 관한 진리치를 규정하는 것으로 제시합니다. 사실 논리학을 처음 공부하면 사람들이 가장 헷갈리고 이해가 안 되는 부분이 여기에 속합니다. 여기에서는 일차논리의 조건문에 대한 정당화와 일차논리적 규정에서는 설명될 수 없는 비직관적인 사례들을 보겠습니다.

우선 고전논리에서 조건문은 실질조건문(material implication)으로 규정되는데, 이 말은 조건문에 기술되는 명제들(전건과 후건)의 진리값에 의해 기계적으로 그 진리값이 결정된다는 의미입니다. 어떤 명제 p와 q가 주어졌을 때 p→q의 진리값은 p가 거짓이거나 q가 참일 때 참으로 정의되고 나머지일 때는 거짓으로 정의됩니다. 정리하자면 다음 표와 같습니다.

p	q	p→q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

 이런 정의를 내리는데는 다음과 같은 정당화가 가능합니다.

 일반적으로 전제가 참일 때 결론도 참이면 조건문이 참이라고 생각합니다. 가령 'a가 자연수라면 a는 유리수이다'는 명제가 참인 이유는 전건인 a가 자연수라는 가정이 주어진다면 결론 역시 참이게 되기 때문입니다. 그리고 전건이 거짓이고 결론이 거짓이라면 조건문 역시 거짓일 것이라고 기대합니다. 가령 'a가 유리수라면 a의 허수부분은 1이다'는 문장을 거짓으로 보이는 이유는 전건은 참이지만 후건은 거짓이기 때문입니다. 여기까지는 어느 정도 받아들일 수 있으나 가장 어려운 부분은 전건이 거짓인 경우에도 조건문을 참으로 규정하는 것입니다. 바로 보기엔 비직관적입니다. 가령 친구랑 내일 밥을 먹는데 '내가 내일 중식을 먹는다면 내일 밥값을 내줄게'라는 조건문이 있다고 합시다. 그리고 내일이 왔을 때 중식이 아니라 한식을 먹었다고 합시다. 그렇다면 위 조건문의 전건은 거짓입니다. 그럴 때 일상적으로 저 조건문이 어떤 의미를 가진다고 생각하지 않습니다. 일상적으로 보았을 때, 적지 않은 경우 조건문의 참거짓을 가릴 때는 우선 전건이 참인 경우로 많은 경우 한정하여 생각하고 있기 때문입니다. 그러나 어떤 명제의 진리치는 그 명제를 구성하는 명제들의 진리값에 의존하여 유일하게 결정된다는 생각을 가지고 본다면, 전건이 거짓인 경우에도 조건문의 진리치를 정의해주어야 합니다. 우선 여기서 일상적인 조건문의 의미와 고전논리에서의 조건문의 의미차이가 발생하는 부분이기도 합니다. 어쨌든, 조건문의 전건이 거짓인 경우 조건문의 진리치를 정한다고 할 때 다음과 같은 정당화가 제시될 수 있습니다.

1.전건과 후건 모두 거짓일 때
(i) 이 경우에는 동일률이 부정됩니다. A가 거짓인 경우 A→A를 규정하게 되고 동일률을 근본적으로 받아들이는 사람이라면 전건과 후건이 모두 거짓일 때 조건문을 거짓으로 규정하는 것에 동의하지 않을 것입니다.
(ii) 1+1=3→(3+1+1)=6이라는 명제를 봅시다. 전건과 후건 모두 거짓입니다만, 1+1=3이라면 덧셈에 관한 규칙과 =의 의미, 숫자들의 정의에 의해서 3+1+1은 3+(1+1)=3+3=6이 됩니다. 이 경우 조건문을 논증으로 본다면 전제인 1+1=3에 수학적으로 타당한 추론규칙을 적용해서 결론을 얻어냈습니다. 논증의 타당성이 추론규칙들, 논증의 형식에 달려있다고 생각한다면 이 경우 전건과 후건이 거짓인 경우 조건문 전체를 거짓으로 규정하기는 어려워보일 수 있습니다.
(iii) 수학적으로 이런 생각을 해봅시다. 아직 참인지 거짓인지 밝혀지지 않은 p라는 명제가 있다고 합시다. 이 명제가 참일 때 어떤 명제 q를 이끌어냈다고 합시다. 그렇다면 수학학술지에는 p이면 q이다는 명제에 대한 증명이 실릴 것이고 다들 조건문 p→q가 참이라고 받아들일 것입니다. 왜냐면 p에다가 수학적으로 타당한 형식들과 기존에 주어진 정리들을 가지고 적용해서 q를 만들었을 것이기 때문입니다. 그러나 다른 정리들을 증명하다보니 q가 거짓임이 밝혀졌고 p 역시 다른 경로로 거짓임이 밝혀졌다고 합시다. 그러나 그렇다고 해서 p→q가 거짓이라고 사람들이 생각하지는 않을 것입니다. 타당한 추론규칙을 사용해서 증명되었기 때문입니다. 따라서 이런 사례들에 따라 조건문이 전건과 후건이 모두 거짓일 때 조건문을 참으로 규정해야 할 이유가 있다고 할 수 있습니다.

2. 전건이 거짓이고 후건이 참일 때

(i) 가령 틀린 명제들로부터 참인 명제를 도출할 수 있는 경우를 생각해볼 수 있습니다. 가령 3이 짝수라고 한다면 3x2도 짝수입니다. 왜냐면 임의의 자연수 x2는 짝수이기 때문입니다. 이들 역시 연역적으로 짝수라는 개념과 x2라는 개념을 사용했기 때문에 3은 짝수다->3x2는 짝수다  는 명제 역시 참으로 규정해야 할 필요가 있습니다. 전건은 틀렸지만 연역하는 수학적 규칙 자체는 바르게 적용되었기 때문입니다.
(ii) 후건부정규칙을 받아들이는 사람이 있다면 이 경우는 확실히 조건문을 참으로 규정해야 합니다. 후건부정규칙은 ~q와 p→q로부터 ~p를 이끌어내는 규칙입니다. 만약 전건이 거짓이고 후건이고 참일 때 조건문을 거짓으로 규정하면 후건부정규칙을 타당하게 만들 수 없습니다. 후건부정규칙이 성립한다고 합시다. 그렇다면 ~q가 참이고 p→q가 참인 명제를 가져온다면 ~p가 도출됩니다. 세 가지 명제 사이에 모순이 없으려면 우선 p와 q가 모두 거짓이고 p→q가 참이기 때문에 만약 전건과 후건이 거짓일 때 조건문을 거짓으로 만들면 이 경우 p→q가 참이면서 거짓이 됩니다. 따라서 후건부정규칙을 받아들이려면 전건과 후건이 모두 거짓일 때 조건문을 참으로 규정해야 합니다.