기초적인 기호에 대한 응용예제

1. ∀x(Fx∧Gx→Hx) = 모든 x가 (개념/함수) F와 G를 만족하면, x는 H를 만족한다(혹은 x는 H에 속한다).

 

 

 

2. ∃x(Fx∧￢∃y(Fy∧x≠y)) = x는 F를 만족하고, F를 만족하면서 x와 같지 않은 y는 존재하지 않는다

   = F를 만족하는 변수는 x밖에 없다

   = x만이 F를 만족한다

   =there exist only one thing that satisfies F

 

 

3. ∃x(Fx∧∀y(Fy→x=y)) = x는 F를 만족하고, 모든 y에 대해서 y가 F를 만족한다면 x=y이다.

                                   = F를 만족하는 변수는 한개밖에 없다

                                   = 2번 예제와 동일한 식

 

 

2와 3에 대해서 부언하자면,￢∃xFx ↔ ￢∀xFx가 성립합니다.

 

즉, 'F를 만족하는 x가 존재하지 않는다'는 '모든 x는 F를 만족하지 않는다'는 같은 의미입니다.

 

이를 응용해서, 2번 식에서 ￢∃y(Fy∧x≠y)는 부정기호 ￢와 ≠를 동시에 사용해서, ￢∃y(Fy∧x≠y)는 ∀y(Fy→x=y)와 같은 의미를 지니게 됩니다.

 

 

4. ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧￢∃z(Fz∧(z≠x ∧ z≠y)))

 

 = x는 F를 만족하고, y는 F를 만족하면서 x와 y는 같지 않다(F를 만족하는 변수가 최소 2개가 존재한다)

   +F를 만족하면서 x와 같지도 않고 y와 같지도 않은 z는 존재하지 않는다

 

= F를 만족하는 변수는 2개밖에 없다(최소 2개있고, 최대 2개 있다)

 

 

 

5. ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧∀z(Fz→(z=x ∨ z=y)))

 

= x는 F를 만족하고, y는 F를 만족하면서 x와 y는 같지 않다 + 모든 z에 대해서 z가 F를 만족하면 z는 x와 같거나 y와 같다.

 

=F를 만족하는 변수는 2개밖에 없다

 

 

4번 식과 5번식 역시 같은 의미를 지니므로

 

∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧￢∃z(Fz∧(z≠x ∧ z≠y))) ↔ ∃x∃y(Fx∧Fy∧x≠y∧∀z(Fz→(z=x ∨ z=y))) 입니다.