수학과 논리학에 쓰이는 기초적인 기호들에 대한 소개

 

존재양화사(existential quantifier) ∃(turned E)

 

존재양화사 ∃는 'there is at least one x'(x는 변수)로 정의되며, 한글로는 '적어도 한개가 존재한다' 혹은 '존재한다'로 해석된다.

 

ex) ∃x : x가 존재한다/적어도 하나의 x가 존재한다

 

     ∃xFx : F를 만족하는 x가 존재한다

(논리학에서 보통 F는 Function의 줄임말으로 '함수' 혹은 '개념'을 의미한다. 보통은 개념이라고 해석한다. 굳이 F가 아니더라도 대문자에다가 소문자 변수가 달려있으면 대문자는 개념이나 함수를 의미)

 

 

보편양화사(universal quantifier) ∀(turned A)

 

∀는 'for all'이라고 정의되며, '모든 ~에 대하여'라고 해석된다.

 

ex) ∀x : 모든 x에 대하여

     ∀xFx : 모든 x가 F를 만족한다/F를 만족하는 모든 x(에 대하여)

 

 

필요충분조건기호 ↔(if and only if = iff)

 

 중고등학교 수학에서는 ↔를 모순기호로 배웠을 것으로 예상되는데, 논리학에서는 모순기호는 따로 있고 필요충분조건기호(if and only if)로 ↔를 사용한다. 같은 의미로는 '↔' '⇔'가 있다.  사람들은 필요충분조건기호로는 ⇔가 더 익숙할 것이다.

 

 

 if 과 only if

 

 한국에서는 충분조건과 필요조건으로 해석되는 것이 영어로는 다른 용어와 기호로 사용된다.

 

p→q : if p then q   ↔ p는 q이기 위한 충분조건(sufficient condition)이면서 q는 p이기 위한 필요조건/필수조건(necessary condition)

 

 

p←q(q→p) : only if p then q    ↔ q는 p이기 위한 충분조건이면서 p는 q이기 위한 필요조건

 

only if p then q(혹은 q only if p)의 해석은 "오직 p일 때만 q이다"이다. 집합론을 배울 때, 오직이나 하나로 해석되는 것은 대우를 생각해보라 했었다.

 

즉,  "오직 p일 때만 q이다"의 대우명제는 "p가 아닌 경우에는 결코 q가 될 수 없다"다.

 

논리기호로 이를 나타내면,  ￢p→￢q이고 대우명제에 의해서 다시 q→p이다.^[각주:1]

 

이에 대해서는 http://sciphy.tistory.com/483 여기를 참조하길 바란다(여기를 참조했습니다)

 

 

부정기호

 

중고등학교 수준에서는 부정기호를 ~로 사용하지만, 대학교 수준에서는 ~는 전혀 다른 의미를 지니기 때문에 부정기호는 ￢를 사용한다. 의미는 'not'이다.

 

가령, 바로 앞의 기호 설명에서 ￢p→￢q는 'not p→not q'와 같은 의미를 지닌다.

 

 

모순기호

 

⊥가 논리학과 수학에서는 모순기호를 담당한다.

 

가령 'F를 가정할 경우 모순이 생긴다'는 문장은 논리기호로 F→⊥ 로 표시하고, ￢F와 같은 의미를 지닌다.

 

 

연언기호

 

∧가 연언기호를 담당한다.

 

한자로는 연언(連言) 즉, '이어주는 말' 혹은 '말을 잇다'를 의미하므로, 'and'를 의미한다고 보면 된다.

 

ex) A∧B = A와 B(A and B)

 

    ∀x(Fx∧Gx) = 모든 x는 F와 G를 만족한다.

 

 

선언기호

 

∨가 선언기호를 담당한다.

 

選言(선택할 선, 말씀 언)을 한자로 쓰는데, 말 그대로 '선택'의 의미를 지닌다.

 

가령, A∨B는 A와 B 중에서 선택한다는 것으로, 'A' 'B' 'A∧B' 3가지 경우를 가진다. 영어로는 A or B로 쓰인다.

 

1. 직관주의 수학(Intuitionistic mathematics)에서는 허용되지 않는 논리식임을 밝힙니다. 이에 대해서는 후에 포스트할 예정이니 지금은 다루지 않겠습니다. [본문으로]