술어논리(5) ㅡ 해석

1. ∀xPx→∃xPx

3. ∃x(x≠x)
4. ∀x∃yPxy

 라는 문장이 있다고 합시다. 위 문장은 그저 앞서 언급했던 식형성규칙에 의해 승인되는 글자들의 특수한 나열일 뿐입니다. 다만 우린 이런 형태의 문장을 이해하기 위해서 기호들에 의미를 부여하는 것일 뿐입니다. 논리학에서 '문장을 이해한다'는 것은 여러 가지 의미가 있지만 기초적으로는, 주어진 문장이 항상 참인지, 아니면 항상 거짓인지, 아니면 경우에 따라 참도 되고 거짓도 되기도 하는지를 논한다는 것입니다. 더 나아가면, 어떤 조건들이 부가적으로 주어지면 조건들 하에서 항상 참인지, 거짓인지를 따진다는 것입니다. 한 번 봅시다.

 1번 문장은 언제나 참인 문장입니다. '모든 x에 대해서 Px가 성립하면, 어떤 x에 대해 Px가 성립한다.' 모든 개체에 대해 성립하면 그를 구성하는 어떤 하나의 개체를 잡아도 성립하겠죠.

 2번 문장은 언제나 거짓인 문장입니다. 뒤에 보겠지만 우리는 동일성기호의 의미를 고정시킬 것이기 때문입니다. 그러나 자기자신과 같지 않은 대상이 존재한다는 것은 일상적인 의미에서도 모순이죠.

 3번 문장은 참이 되기도, 거짓이 되기도 하는 문장입니다. 가령 우리가 다루는 전체집합이 자연수라고 하고, Pxy를 x<y로 해석한다면, '자연수 집합에는 가장 큰 원소가 없다'로 이해할 수 있고, 이는 임의의 n에 대해 n+1을 대응시킴으로서 알 수 있습니다. 또한 정반대로 Pxy를 x>y로 해석한다면, 이는 '가장 작은 자연수는 없다'는 의미이고 거짓이 됩니다. 이렇듯, 해석에 따라 참이 되기도 거짓이 되기도 하는 문장들이 존재합니다. 이런 문장들을 가려내기 위해서 우리는 해석이라는 개념을 도입해야 합니다.

 해석은 (3)에서 다루었던, 비논리상항들에 의미를 부여하는 도구라고 생각하시면 됩니다. 다만 일상언어에서 사용하는 단어들은 많은 경우 의미를 정확히 정해줄 수 없는 경우가 대다수이기 때문에 모든 것이 명확한 세계인 수학적 대상에 우리는 해석의 개념을 한정짓습니다. 물론 의미를 명확히 하기 위해 그렇게 한다는 것이지, 마음 속으로는 일상언어에서 가능한 해석을 부여해서 미리 이 문장이 항상 참인지, 항상 거짓인지, 그렇지 않은지 가늠해본 후 결론이 나면 수학적인 해석을 찾아보는 게 좋습니다. 그러나 익숙해지면 일상언어에 의지하지 않고도 수학적인 해석을 찾을 수 있게 됩니다. 이제 해석에 대해서 정의해봅시다.

 해석 $\mathcal{I}$는 ($\mathcal{U}, \mathcal{C^I}, \mathcal{F^I}, \mathcal{P^I}$) 네쌍으로 표현됩니다. 각각에 대해서 설명해봅시다.

(0) 우선 우리는 비논리상항과 그에 대한 해석을 구분해서 쓸 겁니다. 즉, $a$는 그 자체로 의미가 없고, 어떤 해석이 그에 대해 의미를 부여하여 나오게 되는 구체적인 개체값을 $a^{\mathcal{I}}$로 구분해서 쓸 겁니다. 가령 자연수집합에 관한 표준적인 해석을 생각하고 있다면 $a^{\mathcal{I}}=1$로 설정할 수 있습니다. 술어기호, 함수기호에 대해서 동일합니다.

(1) $\mathcal{U}$는 해석에서 사용될 전체집합, 해석집합(Universe)를 뜻합니다. 우주, universe는 세상의 모든 것입니다. 즉, for all x나 for every x, for any x에 대해서 가능한 모든 x들의 집합이라는 것입니다. 그러나 우리는 특정 체계 하의 모든 것(universe)를 다루고 싶기 때문에 물리적인 의미에서 우주..가 아니라 특정한 논의의 영역 하에서 우주를 이야기합니다. 또한 논의의 영역(domain of discourse)이라는 표현을 따서 $\mathcal{D}$라고도 씁니다. 그러나 많은 경우 $\mathcal{|I|}$로 표현할 때가 많고, 해석에 사용되는 전체집합과 해석 자체에 대한 기호를 크게 구분하지 않을 때가 많기 때문에 저도 $\mathcal{I}$로 표기할 것입니다.

 참고로 우리는 $\mathcal{I}$가 공집합이 아닐 것을 요구합니다. 해석집합의 원소는 반드시 하나 이상 있어야 합니다. 그렇지 않으면 수학적으로 귀찮은 일이 발생하기 때문입니다. 다른 논리학체계에서는 공집합을 허용하기도 합니다만 우린 공집합이 아니도록 정의합시다.

(1) 우선 $\mathcal{C}$를 개체상항들의 집합이라고 합시다. 가령 그 원소들이 $\{c,d\}$라고 한다면, $\mathcal{C^I}$는 $\{c^{\mathcal{I}}, d^{\mathcal{I}}\}$이고, $c^{\mathcal{I}}, d^{\mathcal{I}}$는 $\mathcal{I}$의 원소입니다. 즉, $\mathcal{C^I}$는 개체상항에 대한 $\mathcal{I}$ 하에서의 해석의 집합입니다.

(2) $\mathcal{F^I}$는 함수기호에 대한 해석들의 집합입니다. 가령 $f$이 $n$항 함수기호라면, $f^\mathcal{I}:(\mathcal{I}\times\mathcal{I}\times ...\times\mathcal{I})\longrightarrow\mathcal{I}$로 $f$를 해석합니다. 즉, $\mathcal{I}$의 $n$곱에서 $\mathcal{I}$로 가는 함수라는 것입니다. 수학기호가 나와서 당황스럽겠지만, 쉽게 표현하면 이렇습니다. 가령 자연수체계에서 $f$가 3항 함수기호라고 합시다, 그리고 우리는 이를 $f^{\mathcal{I}}(x,y,z)=(x+y)\cdot z$로 해석할 수 있을 겁니다. 즉, $f^\mathcal{I}:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$이고 함수 값이 위처럼 정의되는거죠. 여기서 $\mathbb{N}$은 자연수집합입니다. 화살표 앞쪽이 정의역, 뒷쪽이 공역입니다. 기호는 어렵게 쓰여있지만 해석 하에서, 함수기호에다가 실제 함수를 대응시키는 것입니다.

(3) $\mathcal{P^I}$는 $\mathcal{I}$하에서 술어에 대한 해석들의 집합입니다. $P$가 $n$항 술어라면, 우리는 $P^\mathcal{I}$는 $\mathcal{I}$의 $n$항 곱의 부분집합이기만 하면 됩니다. 즉, $P^\mathcal{I}\subseteq\mathcal{I}\times ...\times{I}$이기만 하면 술어에 대한 해석요건을 만족합니다. 가령 자연수체계에서 2항 술어기호 $P$가 있다고 할 때 $P^\mathcal{I}$는 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$이어도 되고, 공집합이어도 되고, $P^\mathcal{I}=\{(n,m)|n\text{은 짝수}, m\text{은 홀수} \}$여도 됩니다.

 우린 등호도 논리학의 언어로 볼 것이므로, 이렇게 합시다. $=^\mathcal{I}$는 $\{(x,x)|x\in\mathcal{I}\}$로 합시다. 즉, $\mathcal{I}$ 하에서 수학적으로 등호가 성립하는 것들의 집합으로 봅니다.

 기호들이 너무 튀어나와서 힘드셨을 것으로 생각됩니다. 다음 시간에 쉽고 구체적인 예시들을 많이 보시면 이해가 되실 거라고 생각합니다.