system of numbers(1) - natural numbers

 

 원래는 논리학 포스팅에 괴델정리가 올라와야 할 타이밍이지만, 너무 복잡하기 때문에 학기 중에는 연재가 어려울 것으로 보입니다. 그러니 힘 안드는 실수계 구성을 살펴보도록 하겠습니다. 저는 수학하는데 영어를 지향하고 한글을 지양해야 한다는 주의라서 왠만한 포스트들은 모두 영어로 제시될 겁니다. 하지만 수학용어가 그렇게 어려운 것도 아니고, 사용되는 단어가 평범한 것들이니 겁먹지 않으시고 그저 읽으시면 되실 듯 합니다.

 

 ※ 공리적 집합론을 전제합니다. 하지만 아에 모르셔도 별 상관은 없고, 고등학교 수준의 집합과 명제만 이해하셔도 무관합니다.

 

 

In high school days, we understood natural numbers informally like 1, 2, 3 ... but if natural numbers are 'mathematical objects', we have to give formal defintion as far as possible. then what is the 'natural numbers' on earth?? from now on, using set theoretical ideas, we'll define natural numbers, and then integers, rationas, finally reals(and possibly complex numbers if I have some spare time). now give formal definition.

 

for some reasons, we'll define natural numbers starting 0 not 1. natural numbers are sets expressed as below.

 

(i) $\emptyset$ is a natural number.

(ii)$S(x)= x\cup \{x\}$ is a natural number where $x$ is any natural number.

 

for our convenience, we denote each set as some symbols. $\emptyset$ denotes '0'. $S(0)=S(\emptyset)=\{\emptyset\}$ denote '1', and $S(1)=S(\{\emptyset\})=\{\emptyset , \{\emptyset\}\}$ denote '2'. by the number of $S$ operation applied, we give natural numbers 0, 1, 2, 3, ..., and so on. by above definition, we can express every natural numbers using $0$ and $S$ like $S((\cdots S((S(0)))\cdots )$. intuitively, $S$ is a successor function such that $S(n)= n+1$.

 

 

 now give basic binary operations $+$ and $\cdot$.

 

*Addition of natural numbers

definition

1. $n+0=n$ 2. $m+S(n)=S(m+n)$ for all $m,n\in\mathbb{N}=\{n | n \text{ is a natural number}\}$

 

*Multiplication of natural numbers

definition

1. $n\cdot 0=0$ 2. $m\cdot S(n)=m+(m\cdot n)$ $m,n\in\mathbb{N}=\{n | n \text{ is a natural number}\}$.