조건문(5) - Ramsey's test(Adam's hypothesis)

 Ramsey's test를 해석하는 방향에 있어서 조건문이 참일 확률을 조건부확률로 이해하는 것은 논리적인 모순을 낳기 때문에 폐기해야했습니다. 조건문을 조건부확률로 받아들이는 것을 포기하지 않는다면 Ramsey's test를 다른 방식으로 해석해야 할 것입니다. 이에 대해서는 Adam's thesis가 있습니다.

1-1. Adams' Thesis
Assertability of conditional is Pr(consequent/antecedent)
 A→B가 참일 확률을 Pr(B/A)로 정의하지 않고, A→B의 주장가능성( As(A→B)로 표기)을 Pr(B/A)로 정의하는 방식입니다. 즉, A→B에 대한 주장가능성이 높다는 말은 사건 A가 주어졌을 때 B가 일어날 가능성이 높다는 말입니다. 주장가능성이 무엇이냐에 대해서는 여러 해석법이 있을 수 있고 논란이 있을 것이지만 여기서는 참일 가능성이 높으면 주장가능성 역시 높다 정도로 이해합시다. 그렇다면 stalnaker의 thesis랑은 어떻게 다를까요?

Stalnakers' thesis : Pr(A→B)=Pr(B/A)
Adams' thesis : As(A→B)=Pr(B/A) and for statement A which is not conditional, As(A)=Pr(A)

 일단 의미론적으로 접근하자면, Stalnaker's thesis는 A→B를 얼마나 신뢰할 수 있느냐는 것은 사건 A를 가정했을 때 얼마나 B를 신뢰하느냐와 같다고 합니다. 혹은 A→B의 신뢰도는 사건 A가 발생했다고 할때 우리가 B에 대해 가지는 신뢰도와 일치한다고 볼 수 있습니다. Adams' thesis는 A→B에 대한 주장가능성은 A를 가정했을 때 B가 일어날 확률과 같다고 합니다. 신뢰도와 주장가능성이 어떻게 다르냐는 문제가 발생합니다만 이에 대해서는 크게 정해진 바가 없습니다. 그냥 신뢰도는 확률로 생각하시고, 주장가능성은 또 다른 무언가가 있다고 생각하시면 편할 겁니다. 그냥 기호로 놓고 보면 Pr과 As는 다른 함수가 되기 때문입니다.

 Adams' thesis는 조건문이 아닌 문장 A에 대해서는 As(A)=Pr(A)라고 하고, 조건문 A→B의 주장가능성 As(A→B)은 Pr(B/A)로 정의합니다. 그리고 주목할점은 Pr이 주어지면 As가 결정된다는 것입니다(이에 대해서는 증명하지는 않겠습니다). As는 Pr에 의존적인 함수라고 볼 수 있습니다. As를 Assertability function이라고 합시다. As는 Pr값으로 정해지기 때문에 값이 0과 1사이에 존재합니다.

*전자에서는 루이스의 triviality result가 문제가 되지만 후자에서는 문제가 되지 않습니다. 일반적으로
As(A→B)=Pr(B/A)는 Pr(A→B)와 다르기 때문입니다. 가령 A와 B가 서로 동시에 성립할 수 없을 때ㅡ즉 Pr(A&B)=0,
Pr(A→B)=Pr(~A v B)=Pr(~A v (A&B))    (<- 논리적 동치때문에 성립) =Pr(~A)+Pr(A&B)=Pr(~A)
Pr(B/A)=Pr(A&B)/Pr(A)=0
이기 때문에 Pr(~A)값을 0이 아니게 잡으면 서로 다른 값을 가지게 됩니다.


1-2. 확률논리의 함축관계
 위의 논리를 가지고 아담스의 확률적 함축관계(Adams-probabilistic entailment)를 정의할 수 있습니다.
Γㅑp A  iff  for all ϵ > 0 there exists a δ > 0 such that for all Assertability function As
if As(B) > 1 − δ for all B∈ Γ, then As(A) > 1 − ϵ.

iff ∀ϵ > 0∃δ > 0 ∀As ( (∀B∈ Γ As(B)>1−δ)→ As(A) > 1 − ϵ)

쉽게 설명하면 Γ에 있는 문장들의 주장가능성이 1에 가까워질수록 A의 주장가능성도 1에 가까워진다는 것입니다. 엡실론-델타를 써서 정의를 했는데 여기에는 이유가 있습니다. 확률적으로 함축한다는 의미를 Γ에 있는 모든 문장의 주장가능성이 1일 때 A도 1이다는 것으로 정의하면 conditional free한 문장 A에 대해서 ~AㅑpA→B인지 아닌지에 대해서 판별할 수 없습니다. 왜냐면 As(~A)=Pr(~A)=1이면 Pr(A)=이기 때문에 As(A→B)=Pr(A&B)/Pr(A)인데 Pr(A)=0이므로 값이 정해지지 않기 때문입니다. 따라서 값이 0이 되지 않도록 엡실론-델타를 이용해서 저런 식으로 정의합니다.

 Adams' thesis와 이 정의를 가지고 본다면 우리가 고전논리에서 타당한 형식 혹은 논리적 참이라고 말하는 것들이 그렇지 않게 만들 수 있습니다. 가령 우리가 어색하다고 보았던 문장들을 모두 타당하지 않게 만들 수 있습니다.

 위의 정의를 사용하는 건 너무 복잡하기 때문에 위의 정의에 따른 귀결을 봅시다.
AㅑpB 라고 합시다. 그렇다면 As(A)≤As(B)가 성립합니다. 귀류법을 씁시다. As(A)>As(B)라고 가정합시다. 그렇다면 AㅑpB에 의해서 임의의 ϵ > 0에 대해서 어떤  δ > 0가 있어서 As(A)>1-δ이면 As(B)>1-ϵ입니다. 그렇다면 두 가지 경우가 있습니다.
(a) As(A)=0
 As(A)=0이면 As(A)≤As(B)입니다. 왜냐면 As의 값은 Pr의 범위 내에 있기 때문입니다. 그러나 As(A)>As(B)이므로 이 경우는 모순입니다
(b) 0<As(A)<1
 As(A)=a라고 합시다. 그렇다면 ϵ=1-a로 잡는다면, As(A)>As(B)>1-(1-a)=a입니다. 따라서 As(A)>a가 되고 이는 모순입니다.

 모든 경우에 있어서 모순이므로 처음에 가정한 As(A)>As(B)가 틀렸습니다. 따라서 AㅑpB라면 As(A)≤As(B)가 성립합니다. 이제 고전논리에서는 타당하지만 확률논리적으로 타당하지 않은 문장들을 보겠습니다.
 
1-3. 확률적으로 타당하지 않은 문장들
(i)~A→(A→B)  (ii)B→(A→B) (iii)(A→B)→((A&C)→B) (iv)(A→B)→(~B→~A) (v) (A&B→C) →(A→(B→C))

(i) ~Aㅑp A→B

 이는 성립하지 않습니다. 만약 성립한다면 위의 논리에 의해서 As(~A)≤As(A→B)가 됩니다. 이는 정의에 의해 Pr(A)≤Pr(B/A)입니다. 그러나 Pr(A)=1로 잡고 B를 p&~p로 잡으면 Pr(B/A)=Pr(A&B)/Pr(A)=Pr(A&p&~p)가 되는데 논리적 모순인 문장은 확률값이 항상 0입니다. 따라서 1≤0이 되기 때문에 모순입니다.

(ii) Bㅑp A→B (B가 조건문이 아니라고 합시다)

 성립하지 않습니다. 성립한다면 모든 A와 B에 대해 As(B)≤As(A→B)이므로 Pr(B)≤Pr(B/A)가 됩니다. B=~A라고 합시다. 그리고 Pr(B)의 값은 0이 아닌 임의의 값으로 잡읍시다. 그렇다면 Pr(B)는 0이 아니지만 Pr(B/A)=Pr(A&B)/Pr(A)이고 A&B는 논리적 모순이므로 Pr(A&B)=0입니다. 따라서 0이 아닌 값≤0 이라는 모순이 발생합니다. 따라서 귀류법에 의해 Bㅑp A→B는 성립하지 않습니다.

(iii)(A→B)ㅑp((A&C)→B)

 성립하지 않습니다. 성립한다면, 모든 경우에 있어
As(A→B)≤As(A&C→B) 이고 정의에 의해 Pr(B/A)≤Pr(B/A&C)입니다. A를 논리적으로 참인 문장이라고 한다면 Pr(B/A)=Pr(A&B)/Pr(A)=Pr(B)입니다. 왜냐면 A가 논리적 참인 경우 A&B와 B는 동치이고 Pr(A)=1이기 때문입니다. Pr(B/A&C)=Pr(A&B&C)/Pr(A&C)이고 A가 논리적 참이므로 Pr(B&C)/Pr(C)와 동일합니다. 즉, Pr(B)≤Pr(B/C)입니다. C=~B라고 하고 Pr(B)는 0이 아닌 임의의 값으로 잡읍시다. 그렇다면 Pr(B/C)=Pr(B&C)/Pr(C)이지만 B&C는 모순인 문장이므로 Pr(B&C)=0입니다. 따라서 0보다 큰 값≤0이 되기 때문에 모순입니다. 따라서 (A→B)ㅑp((A&C)→B)는 성립하지 않습니다.

(iv)(A→B)ㅑp(~B→~A)

 성립하지 않습니다. 성립한다면 모든 경우에 있어 Pr(B/A)≤Pr(~B/~A)가 되어야 합니다. Pr(A)=0.5로 잡는다면 이 식은 Pr(A&B)≤Pr(~A&~B)와 동치입니다. B를 논리적으로 참인 문장으로 잡는다면, A&B와 A는 동치이므로 Pr(A&B)=Pr(A)=0.5이고, B가 논리적 참이면 ~B는 항상 거짓인 문장/모순인 문장이 되기 때문에 ~A&~B도 모순인 문장입니다. 따라서 Pr(~A&~B)=0이므로 0.5≤0가 됩니다. 이는 모순이므로 (A→B)ㅑp(~B→~A)는 거짓입니다.


 그렇다면 우리는 Adams' thesis만이 유일한 조건문에 대한 해석법이라고 믿어야 할까요? 다음글에서는 Adams' thesis를 반대하는 논증을 보고 가능세계론으로 조건문을 해석하는 Similarity account를 보도록 하겠습니다.