ZF집합론에서의 자연수 정의

 

예전에 포스트했던 프레게의 자연수 정의는 다음과 같았습니다.

 

k is a natural number if and only if ∀F[F0 ∧ ∀x∀y((Fx ∧ Sxy) → Fy) → Fk]

 

현대 집합론에서 자연수 정의는 다음과 같습니다(ZF set theory)

 

 

∀F((0∈F ∧ ∀x(x∈F → S(x)∈F)) → x∈F)

 

 

F는 집합이구요, S는 예전에 포스트했듯이 Successor relation을 나타냅니다.

 

위의 정의는 '모든 집합에 대해서 0이 F의 원소이고, x가 F의 원소일 때 S(x)도 F의 원소이면, x는 F의 원소이다'라는 의미입니다.

 

집합론의 언어를 빌리자면, 어떤 집합이든 그 집합이 0을 포함하는 귀납적 유전집합이라면 그 집합에 속하는 원소 x는 자연수이다.

 

자연수 공리체계마다 자연수 정의방식은 다를 수 있겠지만, 기본적으로 자연수는 0을 base로 삼는 유전집합의 원소입니다.