괴델의 불완전성 정리 다음주에 시작합니다

휴학하고 헬스다니면서 푹 쉬느라 벌써 2달 가까이 지났네요ㅋㅋ 좀 공부 감좀 잡고 다음주부터 괴델정리에 들어가도록 하겠습니다. 기대하셔도 좋습니다ㅎㅎ  

괴델의 불완전성 정리는 함축하는 바도 많고 오해도 많은 정리입니다. 괴델정리는 간단하게는 '페아노 공리계를 받아들이는 논리체계에는 참이지만 증명이 불가능한 문장이 존재한다'와 '페아노 공리계를 받아들이는 공리계는 공리계 내부에서 완전성을 스스로 증명할 수 없다'로 일축할 수 있습니다. '증명가능하다'는 개념은 지금까지 살펴봤던 일차논리에서 등장하는 증명의 개념과 같으며(증명론, $\vdash$가 등장), '참이다'는 것은 일차논리의 의미론($\vDash$가 등장)의 개념입니다.

 괴델의 정리는 당시 힐버트가 주창한 형식주의(formalism, 모든 수학은 유한한 길이의 식으로 반드시 참과 거짓을 가릴 수 있을 것이다)를 박살내다시피한 정리입니다.

괴델의 정리가 오용되는 사례 중에 하나가 괴델정리를 자연수체계가 아닌 다른 체계로 옮기는 것입니다. 가령 '물리학은 자연수체계를 받아들이기 때문에, 물리학의 명제에는 참이지만 증명이 불가능한 명제가 존재한다'든가 '성경 내에서 신을 증명하거나 반증하는 것은 불가능하다. 성경 자체에서 완전성을 스스로 증명할 수 없기 때문이다'든가 하는 식입니다. 물리학이 수학적 성과를 받아들이는 것은 맞지만, 저런 주장이 가능하려면 물리학의 공리로부터 도출이 되어야 합니다. 그러나 물리학에 수학만큼의 완전한 공리들이 존재하는지는 저로서는 모르겠고, 이를 시도한 사람도 없어서 뭐라 할 수가 없습니다. 또한 수학의 범주를 완전히 넘어서서 사회현상이나 인간에 대해서 괴델정리를 적용하는 것은 이상한 적용입니다. '공리'라는 건 대개 수학에서만 등장하는 것이기 때문에, 공리로서 제시되지 않은(혹은 불가능한) 귀납적인 체계들에 대해서 불완전성을 대입하는 것은 맞지 않습니다.


 괴델정리는 영향력이 큰 만큼 정의해야 할 것도 많고 증명도 어렵습니다. 그러나 잘 따라오시면 마지막에는 논리력과 뿌듯함이 남아있을 것이라 생각합니다.