프레게의 논리주의적 기획(5)ㅡ프레게의 일차적 수정의

 

 

후아아아 드디어 기다리던 프레게의 수정의입니다. 이번 시간에는 수를 대상으로 도입하는 것과 프레게의 자연수 정의를 살펴보도록 하겠습니다.

 

대상(object)으로서의 수도입

 

 

이차술어가 아니라 대상으로서 수를 도입하기 위해서는, 앞에서 사용했던 존재규정문장(identity statement)를 이용해야합니다.

 

"x는 y다"의 형식에서, 일반적으로 x와 y의 자리에는 명사가 들어갑니다.

 

프레게가 자연수를 논리기호로 정의하기 위해서는 당연하게도 수를 수량형용사가 아닌 명사로서 도입해야합니다. 왜냐면 수학에서 다루는 수는 "3명의 왕"같은 수가 아니라 "1+1=2" "2x3=6"에 사용되는 수이기 때문입니다. 1+1=2에 사용되는 수는 속성(property)가 아니라 명사와 수사로서의 수이죠?

 

이런 작업을 위해서 필요한 게 바로 '존재규정문장'입니다. 앞서 말한 것처럼, 존재규정문장에는 기본적으로 명사가 이용되기 때문이죠.

 

따라서 프레게의 수정의는 일차적으로 이런 형태를 나타냅니다.

 

 

 

존재규정문장으로는 "The number of Fs is k"입니다.

 

The number of Fs는 개념 F를 만족하는 대상의 개수를 의미합니다. 직역하면  'F들의 수'가 되겠습니다.

 

위와 같이 쓴다면 확실히 수는 대상으로 도입됩니다.

 

가령, "학교의 수는 3이다"는 문장에서 학교의 수와 3은 동일하고 모두 명사로서의 대상임을 알 수 있습니다.

 

프레게는 이 식을 기초로해서 자연수를 정의합니다.

 

 

이제 이 식을 분석해서 수를 정의할 수 있을 듯합니다.

 

하지만, 저 상태로는 의미있는 것을 산출해낼 수 없습니다. 'F들의 수'가 어떤 의미를 지니고, 다른 대상들(가령 유니콘)과 어떻게 다른지를 알기 위해서는 'F들의 수'의 테두리를 정해야 합니다.

 

이를 위해서 프레게는 수들간의 관계를 살핍니다.

 

 

 

 

존재규정문장의 형태를 같은 수끼리로 제한시키는 겁니다. 이제 'F들의 수=G들의 수'라는 제한된 존재규정문장을 가지고 수의 테두리를 정하면 됩니다.

 

이에 대한 구체적인 논의는 다음시간에 하도록 합시다.