프레게의 논리주의적 기획(1)

 

 

프레게(Gottlob Frege, 1848 ~ 1925)는 논리주의(logicism) 사상으로 유명합니다. 프레게의 논리주의란 쉽게 말해서 이렇게 정리하면 될듯 합니다.

 

"수학의 모든 성질은 논리법칙과 논리기호로 환원된다. 수학은 논리학으로 환원될 수 있다."

 

 이는 논리학과 수학이 상당한 점으로 공통점을 가지고 있었기 때문에 가능한 생각이었습니다. 바로 수학과 논리학은 오류가능성이 적은 '가장 엄밀한 학문'이다는 점입니다. 프레게는 이런 생각을 바탕으로, 논리주의를 주장했습니다.

  프레게는 이런 생각을 정당화하기 위해서 두가지를 증명해야 했습니다.

 

 

1. 자연수는 논리기호와 논리법칙으로 환원가능하다.

 

2. 수학의 모든 법칙은 논리기호로 환원가능하다.

 

 

 

 

 자연수는 논리기호와 논리법칙으로 환원가능하다

 

 현대수학의 엄밀성은 19세기 말에 와서야 엄밀성을 완전하게 지니게 됩니다. 그전까지는 수학용어나 정리(theorem) 대한 명확한 정의나 증명이 부족했고, 당연하게도 수학에 엄밀성이 부족하다는 주장이 수학자들 내에서 나타났습니다. 이를 해결한 여러 수학자 중에 대표적으로 데데킨트(Richard Dedekind)가 있습니다. 자연수에 대한 엄밀성으로부터 정수, 유리수, 실수 등의 수학체계의 엄밀성을 이끌어 낸 사람이죠. 사람들이 많이 아는 데데킨트-페아노 공리계가 데데킨트의 생각으로부터 나옵니다.

 

 프레게는 당대의 고전수학이 '자연수'를 가장 기본으로 하여 세워진 체계라고 판단했기 때문에, 자연수를 논리기호로 환원하는 것이 자신의 첫 번째 과제라고 생각했습니다.

 

 

 

수학의 모든 법칙은 논리기호로 환원가능하다

 

 프레게의 첫째 과제인 '자연수를 논리기호로 환원'가 해결된다면 남은 것은 그 자연수체계 위에 세워진 수학 전체를 논리학으로 환원하는 것이었습니다. 프레게에게는 첫 번째 과제가 해결된다면 이는 연역적으로 추론가능한 과제였습니다. 수학 체계 자체가 자연수를 하부구조로하여 세워졌기 때문에, '자연수→수학'의 연역적구조에서 '자연수⊂논리학'이 증명된다면, '(자연수⊂논리학)→수학' 역시 연역적으로 추론가능한 것이기 때문입니다. 프레게는 이 문제를 해결하기 위해서 자연수를 포함해서 수학을 구성하는 기초적인 법칙들이 논리학으로 환원된다는 것만 밝히면 되었습니다.

 

 

 

이 두가지를 증명하는 것이 프레게의 과제였고, 먼저 선행되어야 하는 것은 자연수를 논리학적으로 정의하는 것이었습니다. 다음 시간에는 이에 대해서 다루기로 합니다.