힐버트 호텔의 역설(Hilbert hotel paradox)

힐버트 호텔은 크게 3가지로 분류됩니다.

힐버트 호텔은 무한한 사람을 수용가능한 호텔에 또 다른 사람들을 수용하는 것에 대한 이야기입니다.


1. 무한한 사람을 수용가능한 호텔에, 모든 방이 꽉 차있고 유한한 손님을 수용하는 경우.

한 방에는 한 명의 손님만 수용가능하고, 모든 방이 차있다는 가정이 들어있습니다.

이 경우 유한한 손님의 수만큼 이미 수용한 무한의 손님을 뒷방으로 옮기면 됩니다.

가령 3명의 손님이 새로 온다면, 1~2~3번 방을 비우도록 원래있던 손님들을 세칸씩 방이동을 하면 수용이 가능합니다.

2. 모든 방이 꽉 차있는 호텔에 무한한 손님을 수용하는 경우.

역시 이미 호텔에 무한명의 모든 손님이 수용되어있다는 가정이 있습니다.

이 상태에서 무한한 손님을 수용하기 위해서는 n번째에 있는 손님들을 모두 2n번째로 옮기고 생기게 된 홀수 번째의 자리에 새로 들어온 무한한 손님을 수용하면 됩니다.

기존에 있는 손님들이 짝수방으로 새로온 무한한 손님들이 홀수방으로 들어가는 것이죠.

3. 무한한 호텔이 있고 각각의 호텔들에 무한한 손님들이 수용되어있을 때, 모든 호텔의 무한한 모든 손님들을 처음 호텔에 수용하는 경우.

호텔의 순서의 수열을 $H_n$이라고 합시다. 임의의 모든 호텔 $H_i$의 모든 사람을 $H_1$으로 수용하는 방법을 구하는 것이 문제입니다.


먼저, $H_1$의 모든 손님을 $2n$번 방으로 모두 옮깁니다. 그렇다면 짝수 번째 방은 이론적으로 모두 수용되게 됩니다. 그럼 남은 홀수방에 $H_i(i>1)$의 사람들을 모두 수용하면 됩니다.

이를 위해서는 소수가 무한히 존재한다는 유클리드의 정리가 필요합니다.

소수의 성질에 따라 각각의 소수끼리는 공통인수가 없고, 따라서 모든 소수들의 임의의 몇 제곱끼리도 공통인수가 없습니다.

이 사실을 이용해서 나머지 호텔의 사람들을 $H_i$에 투숙시키면 됩니다.

먼저 $H_2$의 사람들은 $3^n$의 방에 무한으로 수용하면 됩니다.

$H_2$의 사람들은 가정에 의해서 방의 수가 무한하므로 무한히 수용되어 있습니다. 그들의 수는 첫번째 방부터 하나씩 세면 자연수집합에 대응하게 됩니다. 즉, 1 2 3 4 5 ... n n+1 ...의 수열로 사람들의 수가 진행되는 것이죠.

$H_1$의 $3^n$번째 방과, $H_2$의 $n(n\in\mathbb{N}$명의 사람들은 같은 $n$을 가지고 있음으로 무한히 대응할 수 있습니다.

다시 말해서, 3번째 방과 첫 번째 사람, 9번째 방과 두 번째 사람, 27번째 방과 세 번째 사람 등등.

이렇게 해서 $3^n$과 $n$을 무한히 대응시킬 수 있습니다. 이렇게 되면, $H_2$의 사람을 모두 $H_1$에 수용할 수 있습니다.

$H_3$의 사람들은 같은 방식으로 $H_1$의 $5^n$에 무한히 대응할 수 있겠죠. 역시 $H_4$는 $7^n$으로 대응할 수 있습니다.

이걸 일반화하면, $H_i$의 인원은 모두 $P_{i}^{n}$으로 수용가능합니다($P_i$는 소수의 수열($i>1$))
(소수의 수열이라 함은 $P_1 = 2$, $P_2 = 3$, $P_3 = 5$ 등으로 이어지는 소수수열을 뜻합니다)

$H_1$의 사람은 모두 짝수 수열인 $2n$으로 수용했고, $H_i(i>1)$의 사람들에 대해서는 소수의 수열 $P_{i}^{n}$으로 수용했습니다. 이는 호텔의 순서수열 $H_i$와 소수의 수열 $P_i$가 무한히 대응될 수 있음에서 나오는 성질입니다.

여튼, 증명은 이렇게 끝났고 관련해서 몇 가지를 더 언급할 수 있겠습니다.

먼저, 위의 방식으로 $H_1$에 모든 사람을 수용할 경우 남는 방들이 있습니다. 1번방과 15번방 등등. 짝수 방은 $H_1$ 사람들로 모두 수용되었고, $H_i(i>1)$사람들은 모두 무한히 소수의 몇 제곱 방에 수용되었습니다. 모든 홀수가 소수는 아니기 때문에, 서로 다른 홀수인 소수들의 곱으로 이루어진 방들은 빈 채로 남아 있게됩니다. 가령, 3x5, 3x7 등등의 방이 비어있게 됩니다. 예외로 1번방은 소수도 짝수도 아니기 때문에 남아있죠.


힐버트 호텔이 시사하는 바는 큽니다. 1번째 경우는 무한에 유한한 수를 더하더라도 무한은 그대로라는 걸 알 수 있게 해줍니다. 2번째 경우는 무한에 무한을 더해도 그대로라는 걸 알게 해주죠. 마지막 경우는 심지어 무한에 무한을 무한히 더해도, 다시 말해서 무한에 무한을 곱해도 무한은 그대로라는 걸 알려 줍니다.

힐버트 호텔은 기본적으로 countably infinite이기 때문에, 한 호텔에 수용된/수용할 수 있는 인원이 $\aleph_0$입니다.

이를 생각하고 1번째 2번째 3번째 경우를 식으로 나타내면 이렇게 됩니다.
$1. \aleph_0 + c =\aleph_0(c는 상수)$
$2. \aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0$
$3. \aleph_0\times\aleph_0 = \aleph_0$

마지막으로 힐버트 호텔이 역설인 이유는 수학적으로 문제가 있어서가 아니라, 우리의 인식상 무한에 익숙하지 않기 때문에 "음? 이게 뭔소리야" 등으로 인식착오를 불러올 수 있기 때문입니다. 방금 언급한 바에 따르면, 무한에 무한을 더했는데 수가 변하지 않는다는 점, 무한을 곱해도 그대로라는 것 등이 그렇습니다.


(무한수에 관한 포스팅은 http://imnt.tistory.com/69 를 참조하시길 바랍니다)
(소수가 무한하다는 것은 http://imnt.tistory.com/103 를 참조하시길 바랍니다)