양상논리(modal logic)

양상논리(modal logic)는 기존의 명제논리와 술어논리에 '양상(樣相)'이라는 개념을 더한 논리개념입니다.

 

'필연성' '가능성' '허용성' '시간성' 등의 양상을 논리체계에 더하는 겁니다.

 

 

Modal Logic K

 

가장 기본적인 양상논리는 modal logic K라고 불리는 K-양상논리입니다. Saul Kripke라는 논리학자의 이름을 따서 지어졌습니다.

 

◇ : it is possibly that ~

□ : it is necessarily that ~

 

기호로는 이렇게 표기합니다.

 

◇p ↔￢□￢p

□p ↔ ￢◇￢p

 

 

일반적으로 양상논리에서는 두 개념을 사용합니다. 첫번째 기호가 '가능성'에 대한 기호고, 두번째 기호가 '필연성'에 관한 기호입니다.

 

가령 □p(필연적으로 p이다)나 ◇p(가능적으로 p이다)등이 가장 기본적으로 사용됩니다.

 

 

이 체계를 이루는 법칙과 공리는 Necessitation rule(N)과 Distribution axiom(K) 2가지입니다.

 

 

 

N, Necessitation rule : if p is a theorem of any system involking N, p → □p

 

 

N이라고 쓰는 법칙입니다. p가 정리라면, 필연적으로 p(□p)라는 법칙입니다.

 

정리(theorem)라는 건 공리(axiom)와 정의(definition)로부터 이끌어 낸 명제입니다. 공리와 정의로부터 특정 명제를 이끌어 낸다는 것은, 만들어진 명제가 '다른 어떤 가정'도 하지 않았다는 겁니다. 다시 말해서, 어떤 전제와 가정없이 공리와 정의로부터 '필연적으로(연역적으로)' 도출된 명제라는 것이죠. 따라서 p → □p라고 써도 무관하고, 이를 necessitation rule이라고 합니다.

 

 

 

K, Distribution axiom : □(p→q) → (□p→□q)

 

K라고 불리는 공리입니다.

 

'p가 q로 변환되는 과정이 필연적이라면, 필연적으로 p라면 필연적으로 q다'는 공리입니다.

 

원어로는 'if it is necessary that if p then q, then if necessarily p then necessarily q'라고 하네요.

 

 

 

K-양상논리체계는 기존의 논리학(명제논리+술어논리)과 위의 N법칙과 K공리를 가지고 만들어진 체계입니다.

 

이런 체계가 양상논리에서 가장 기본적입니다.

 

 

하지만 이 체계는 필연성에 대한 충분한 설명이 부족하다고 지적됩니다.

 

그래서 나타난게 M공리(혹은 T공리)입니다.

 

 

M, Reflexivity axiom □p→p

 

 

necessitation rule에 대해서 reflexivity를 가진다는 의미인 것 같네요.

 

원어로는 'if necessarily p, then p is the case'입니다. 해석하자면 '필연적으로 p라면 p는 사실이다'

 

 

system K(명제논리+술어논리+N+K)에다가 M(혹은 T)공리를 더한 것이 M system(T system)입니다.

 

 

 

하지만 axiomatic system of modal logic M 또한 엄밀히 가능성과 필연성에 대해서 다루지 못합니다.

 

□의 반복성에 대해서 공리나 정리로써 이끌어 낼 수 없기 때문이죠.

 

가령, □p→□□p같은 명제는 K-양상논리뿐만 아니라 M-양상논리에서도 알 수 없습니다.

 

p→□p인데 왜 □p→□□p는 안 되는가에 대한 비판은 당연하게 드러나겠죠.

 

 

이런 가능성+필연성에 대한 기호반복성 문제를 해결하기 위해서 S공리체계가 드러섭니다.

 

 

4 axiom : □p→□□p

 

 

if necessarily p, then p is necessarily necessar

 

'p가 필연적이라면, p는 필연적으로 필연적이다'라는 공리입니다. 순전히 기호반복성문제를 해결하기 위해 도입된 공리입니다.

 

 

system M에 4공리를 더해서 만들어진 체계가 system S4입니다.

 

S4 체계에서는

 

□의 기호반복은 □와 동일합니다. 즉, □□□...□ = □입니다.

 

◇의 기호반복도 ◇와 동일합니다. ◇◇◇...◇ = ◇입니다.

 

 

이 공리체계도 비판을 받습니다. 기호반복성문제를 해결하긴했지만 명제 p가 필연적이다는 걸 말하기 위해서, 'p는 필연적으로 필연적이다'처럼 불필요하게 언어를 남용하기 때문입니다.

 

 

이와 다른 체계로 S5체계가 있습니다.

 

 

5 axiom : ◇p →□◇p

 

if p is possible, then it is necessary that that p is possible

 

'p가 가능하다면, p가 가능하다는 건 필연적이다'는 공리입니다.

 

 

system M에 5공리를 해서 만들어진 공리체계를 S5 system이라고 합니다.

 

이 체계로부터 따라나오는 것은 다음과 같습니다.

 

000...◇ = ◇

000...□ = □

(0은 □와 ◇ 중에서 택1)

 

 

위 형식을 보면 S5가 S4를 포함하고 있음을 알 수 있습니다.

 

S4에서 허용되는 형식은 '동일기호반복성'인데, 보시다시피 이는 방금 서술된 S5에 포함됩니다.

 

 

 

이를 이해하기 위해서는 다른 공리와 공리체계를 보아야 할 필요가 있습니다.

 

 

 

 B axiom : p→□◇p

 

 

if p is the case, then p is necessarily possible

 

p가 사실이라면, p는 필연적으로 가능하다.

 

다른 방면으로는 직관주의 수학(Intuitionistic Mathematics)을 제창한 브라우어(Brouwer)의 이름을 딴 공리입니다.

 

system M에 B공리를 더하여 system B라고 부릅니다.

 

 

B공리에다가 S4를 더하면 S5가 도출됩니다. 이에 대해서는 다음에 논하도록 하겠습니다.